2. 1. Прямая линия
Общее уравнение прямой
.
Две прямые и параллельны, если , перпендикулярны, если . Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой , до прямой определяется формулой:
.
Условие параллельности двух прямых: ,
Условие перпендикулярности: .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку , или уравнение пучка прямых:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :
.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: .
Уравнение прямой в отрезках на осях: .
Пример 1. Через точку провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом к прямой (АВ): .
Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку :
,
.
Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него , получаем уравнение с угловым коэффициентом ; .
1. .
Уравнение : или .
2. .
Уравнение : или .
3. Прямая образует с угол . Обозначим ее угловой коэффициент через и воспользуемся формулой
; =1. Имеем , так как искомое может совпадать с или .
1) ; ; .
2) ; ; .
Искомые прямые
: или .
: или .
Пример 2. ; ; вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.
Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки
; ;
(АС): или ; .
2)
(ВН): ; ; .
3) ВМ – медиана, М – середина АС,
; ;
(ВМ): ; ; .
4) Длина высоты равна расстоянию от точки В до прямой АС
; (ед.).
5) ; ;
; .
.
Кривые второго порядка
Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.
Если В =0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.
Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов:
1. – линии эллиптического типа:
– эллипс с центром полуосями а и b.
Если то уравнение запишется в виде
– окружность с центром радиуса R.
2. – линии гиперболического типа:
– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. – линии параболического типа.
Здесь возможны четыре случая:
либо – параболы с вершиной , где .
В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором –
Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:
1) :
– точка .
– мнимый эллипс.
2) : или
– пара пересекающихся прямых:
3) : или – пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно , , . , , , . Любой вектор может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
, , ,
.
Числа , , проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора в базисе .
3. 2. Основные действия с векторами.
Пусть , , – скаляр.
1°. Û , , .
2°. .
3°. .
4°. Длина (модуль) вектора: .
5°. Условие параллельности векторов: || Û .
6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала .
Пример. Найти длину вектора , если , .
Решение. По 6°: , . Его длина (4°): (ед).
3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:
.
Угол между векторами:
Условие перпендикулярности векторов: Û Û .
Проекция вектора на направление : .
Пример. Найти угол между векторами ; .
Решение. Находим ; ,
; ,
.
3. 4. Векторное произведение.
Векторным произведением на называется вектор , удовлетворяющим трем условиям
1. ,
2. ; ,
3. образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.
Обозначают .
Обратите внимание, .
— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить векторы , , .
; . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Решение. Найдем вектор .
.
Сделаем чертеж.
На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна , т. е. длине вектора .
;
Площадь параллелограмма .
3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число
.
В координатной форме:
.
Модуль смешанного произведения — численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах.
Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.
Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
3.6. Разложение вектора по базису.
Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в . Всякий вектор может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде .
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
; , .
Решение. Найдем смешанное произведение
,
Объем
Пример. Убедиться, что векторы не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора по векторам если
; ; ; .
Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .
не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.
2) Разложим вектор по векторам :
.
Чтобы найти запишем это равенство для каждой координаты
Решив систему уравнений любым известным способом, находим ; ; . Значит, .
3. 7. Плоскость и прямая в пространстве
1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :
.
Вектор перпендикулярен к плоскости.
2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение
.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,
, :
4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле
Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат.
Решение. Составим уравнение плоскости
,
; .
Расстояние от начала координат до плоскости
.
5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:
если и не коллинеарны.
6. Канонические уравнения:
–прямая, проходящая через точку в направлении .
7. Прямая, проходящая через две данные точки
8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п.
Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости .
Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .
Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты.
Решение. Найдем координаты векторов — ребер:
.
, ,
.
1) Длина вектора .
2) ,
,
Скалярное произведение: ,
,
.
Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим .
3) Площадь грани .
Векторное произведение
;
,
4) Объем пирамиды .
Смешанное произведение
,
.
5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:
; ;
.
6) Уравнение плоскости по трем точкам:
.
; ;
.
7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой:
.
Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .
8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости
или
; .
Комплексные числа
4.1. Комплексным числом называется выражение вида:
,
где и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию
.
Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа .
Комплексные числа можно представлять точками плоскости или же векторами этой плоскости.
4. 2. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через , так что .
Угол , образованный вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается
.
,
где – главное значение , определяемое условиями , причем,
Так как , , то — тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера
можно перейти от тригонометрической формы к показательной
.
4. 3. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: ; . Или когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :
,
4. 4. Основные действия над комплексными числами.
При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части
.
, .
Умножение: .
Деление:
.
Возведение в степень целое):
.
Корень из комплексного числа целое):
.
Корень – ой степени из любого числа имеет различных значений, которые располагаются в вершинах правильного – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример. Даны комплексные числа в алгебраической форме:
; . Записать их в тригонометрической и показательной формах, изобразить на комплексной плоскости.
Выполнить указанные действия: , , , . Найти все корни уравнения , изобразить их на плоскости.
Решение.
Изобразим числа и на комплексной плоскости
, , .
,
.
Тригонометрическая форма:
, .
Показательная форма числа: ; .
Для ; ; ;
,
Выполним действия:
1) ,
2) ,
Умножаем по правилу умножения многочленов, учитывая, что или . (При умножении показатели складываются).
3)
.
В показательной форме:
. (При делении показатели вычитаются).
4) . Лучше это действие выполнять в показательной форме
.
Найдем корни уравнения , .
Корень третьей степени из комплексного числа имеет три различные значения. В данном случае
.
, ,
имеют одинаковый модуль, значит они располагаются на окружности с центром в начале координат, радиусом , так как разность аргументов , то они лежат в вершинах правильного вписанного треугольника.