А) Методика изучения величин в курсе геометрия в профильной школе. Б) методика изучения площадей поверхностей многогранников и тел вращения.
А) На пропедевтическом этапе учащиеся знакомятся с длиной отрезка, единицами его измерения и овладевают приемами измерения отрезков с помощью измерительных инструментов. Сущность процесса измерения как процесса сравнения с единицей измерения данной величины должна быть выяснена достаточно отчетливо. Как необязательный материал может быть изучена формула длины окружности и понятие о числе как результате измерений [12.С. 13]. Принципиально необходимо установить различие между объектами и величинами. Отрезок есть фигура, его можно начертить, увидеть, а длина есть величина, ее можно записать в виде числа с наименованием, указывающим единицу измерения. Реальный путь овладения этой непростой мыслью - практические построения и измерения.
Систематический этап изучения длины отрезка начинается с первых уроков курса геометрии профильной школы, так как отрезок входит в число простейших геометрических фигур.
В различных учебниках осуществлены различные подходы к изучению длины отрезка.
-й подход. Оригинальный подход осуществлен в учебнике А.Н. Колмогорова [7]: расстояние от одной точки до другой (то есть длина отрезка) - одно из основных неопределяемых понятий (наряду с понятиями точка, прямая, плоскость).
Аксиомы расстояния поэтому описывают основные свойства длины как неотрицательной скалярной величины. Таким образом, в этом учебнике мы имеем дело с явно введенным аксиоматическим определением длины отрезка. Данный подход, безусловно, безупречен с математической точки зрения, однако, чрезмерно абстрактен, мало доступен учащимся этого возраста.
-й подход. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. в самом начале курса практически также дается аксиоматическое определение длины отрезка, но делается это неявно: понятие аксиомы не введено, содержание аксиом не выделено в качестве основных свойств длины отрезка.
Изложение материала ведется подробно, на большом количестве примеров. В тексте специально выделены предложения, в которых отражаются практически все аксиомы длины отрезка
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения(суть аксиомы нормируемости).
Б) Обычно теоретический материал раздел о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.
При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения.
При изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном и описанном, их основных свойствах.
Тема «Тела вращения» усваивается учащимися неплохо. Однако анализ состояния знаний учащихся показывает, в частности, недостаточно сформированные навыки в решении стереометрических задач (неумение выполнить чертеж рассматриваемого тела вращения), так и в неумении проводить теоретические обоснования отдельных этапов решения, не всегда корректное использование теоретического материала, неаккуратно выполненные записи. Отрицательно сказывается на результатах работы отсутствие прочных вычислительных навыков у учащихся, утрата основных знаний и умений по курсу планиметрии.
Отдельные сведения о цилиндре, конусе, шаре полученные учащимися из повседневной практики, предшествующего обучения математике, изучения других школьных дисциплин, синтезируются, оформляются, логически, систематизируются.
Тела вращения» можно условно разделить на две группы:
1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.
2. Шар и сфера: а) определение, симметрия
Обычно цилиндр, конус, шар и сфера изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия, как «тело», «поверхность», «ограниченность» ит.п., вводится в теме «многогранники», и сама трактовка фигур вращения (тело или поверхность) согласуется с тем, как понимается многогранник. В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др., например, цилиндр – это тело, а многогранник поверхность, хотя авторы и отмечают, что «…тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником»
Последовательность изучаемых тел вращения: цилиндр, конус, шар – соответствует обычно последовательности: призма, пирамида, правильные многогранники. Цилиндр и призма имеют очень много общих свойств. Аналогичное замечание можно сделать и относительно понятий пирамиды и конуса. Во всех школьных учебниках выделяется для изучения поверхность шара – сфера. Цилиндрическая поверхность рассматривается только в учебнике Л. С. Атанасяна и др. Коническая поверхность отдельно не рассматривается.
Если сравнить трактовки цилиндра (конуса) в школьных курсах геометрии, то видно, что: 1) строгого определения цилиндра (конуса) в школьных курсах нет, дается лишь его описание; 2) во всех учебниках под цилиндром (конусом) понимается геометрическое тело, т.е. ограниченная пространственная область с границей. При этом можно выделить 3 основных различных методических подхода к понятию цилиндра (конуса):
1. В учебном пособии А. В. Погорелова цилиндр трактуется как тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей.
2. В курсе геометрии Л. С. Атанасяна и др. сначала вводится граница – цилиндрическая поверхность и два круга, расположенных определенным образом относительно этой поверхности – ограниченной пространственной области, а уже затем цилиндр как тело, ограниченное рассмотренной поверхностью.
Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии профильной школы. Методика изучения объемов фигур в курсе стереометрии. Методика использования интеграла при нахождении объема фигуры.
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело – объем тела как величина – объем прямоугольного параллелепипеда – объем треугольной призмы – объем призмы – тела, имеющие равные объемы – объем полной треугольной пирамиды – объем произвольной полной пирамиды – объем усеченной треугольной пирамиды – объем произвольной усеченной пирамиды – объемы подобных тел – объем тел вращения.
Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.
Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:
1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;
2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;
3. сравнение полученных значений отношений;
4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями: 
a,1,1; a,b,1; a,b,c.
При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:
1. проанализировать эмпирический материал;
2. математизировать эмпирический материал – построить определение;
3. составить алгоритм распознавания понятия;
4. включить понятие в систему понятий.
При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной трапеции.
Старшеклассникам следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для пирамиды и соответственно необходимость применения интегральных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие многогранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными.
