Составители: САФИН Рашит Рафаилович,

МАТЕМАТИКА

Методические указания по выполнению контрольных работ

 

УФА – 2007

Составители: Р.Р. Сафин, М.А.Богданова

 

УДК 51

М 34

 

 

Математика. Методические указания по выполнению контрольных работ / Сост.: Р.Р. Сафин,М.А. Богданова. – Уфа: Уфимск. гос. академия экономики и сервиса, 2007. – 45 с.

 

 

Приведены контрольные задания и решения типовых задач по дисциплине «Математика».

Предназначены для студентов заочной формы обучения специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент», обучающихся на базе среднего профессионального образования.

 

Рецензенты: Ш.З. Измайлов канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математика и информатика» Уфимского института коммерции и права;

С.М. Бакусова канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Экономическая теория и мировая экономика» Уфимской государственной академии экономики и сервиса

 

 

© Сафин Р.Р., Богданова М.А., 2007

© Уфимская государственная академия

экономики и сервиса, 2007

 

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить со­ответствующие разделы курса по пособиям и учебникам. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре высшей математики.

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться ука­занных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для заме­чаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы следует проставить дату её выполнения и расписаться.

3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго в соответствии со своим вариантом. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие зада­чи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. На­пример, условие задачи 1 должно быть переписано так: Даны вершины А(1;1), В(7;4), С(4;5) треугольника. Найти: 1) длину сторо­ны АВ и т.д.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотиви­руя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и за­чтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправ­ления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями ре­цензента. Прорецензированную контрольную работу вместе со всеми исправле­ниями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент пред­ставляет к защите.

ВВЕДЕНИЕ

 

Дисциплина «Математика» изучается на протяжении двух семестров. В первом семестре изучаются разделы:

1. Элементы линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии.

2. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

3. Интегральное исчисление.

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Ряды. Дифференциальные уравнения.

Во втором семестре изучаются разделы:

5. Теория вероятностей и математическая статистика.

6. Математическое программирование.

В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В первом семестре - контрольная работа № 1 (задачи 1-7), во втором семестре - контрольная работа № 2 (задачи 8-14). Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2. В задачах 8-11 данные в задачах определяются по последним трем цифрам номера зачетной книжки студента.

 

Контрольные задания

 

Задача 1. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9. .

1.10. .

Задача 2. Дана система линейных уравнений

 

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Найти производные заданных функций.

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. ;

3.7. ;

3.8. ;

3.9. ;

3.10. ;

Задача 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

4.1. 4.2. у = 4.3. у =

4.4. у = 4.5. у = 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

Задача 5. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

5.1.

 

 

5.2.

 

 

5.3.

 

 

 

5.4.

 

 

5.5.

 

 

5.6.

 

5.7.

 

5.8.

 

5.9.

5.10.

 

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 

Задача 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .

7.1. . 7.2. .

7.3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. .

7.7. . 7.8. .

7.9. . 7.10. .

В задачах 8-11 исходные данные определяются по номеру зачетной книжки (шифру) студента. Положим значения A,B,C равными соответствующим трем последним цифрам шифра (отметим, что если какая-то цифра шифра равна 0, то соответствующее ей значение A,B или C принимается равным 10).

Задача 8. В каждой из трех урн содержится C черных и B белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

 

Задача 9. Имеется три партии деталей по (10 + A+B+C) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10 + A), (10 + B), (10 + C). Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

 

Задача 10. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Для задачи 3 необходимые параметры вычисляем по формулам:

 

Задача 11. Дано статистическое распределение выборки

 

где ;

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Задача 12. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

 

12.1. 12.2.

12.3. 12.4.

 

12.5. 12.6.

12.7. 12.8.

 

12.9. 12.10

Задача 13. Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать материал только трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта и кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида расходуется кг материала первого сорта, кг материала второго сорта, кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта кг, материала второго сорта кг, материала третьего сорта кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль руб., продукции вида В прибыль составляет руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплекс-методом. Дать геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи.

13.1.

 

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

13.10.

Задача 14. Имеются три пункта поставки однородного груза пять пунктов потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве т. В пункты требуется доставить соответственно т груза.

Расстояние между пунктами потребления приведено в следующей матрице таблице:

 

Пункты поставки	Пункты потребления

 

Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения типовых задач

 

Задача 1. Даны вершины треугольника : . Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник .

 

Решение.

.

 

 

1) Длину стороны (длина вектора ) находим как расстояние между двумя точками плоскости и : .

Поэтому

2) Угол - это угол между векторами и . Координаты этих векторов: , . Таким образом .

Таким образом, получаем

3) Составим уравнение стороны : , или . Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или .

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т. .

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: , получим .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений ; Таким образом, точка пересечения высот треугольника имеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точки до прямой : : . Таким образом,

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ; ; .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой , т.е. в полуплоскости, которая задается неравенством: . Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая , выбираем ту, которая задается неравенством: .

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 2. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей :

~ ~ ~

т.е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицы А , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ее и находим обратную матрицу .

=

.

Ответ:

Задача 3.

1). Найти производную функции

2). Найти производную функции

3). Найти производную функции: .

4). Найти производную функции: .

5). Найти производную функции: .

 

Задача 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции: пересечение оси 0х в точке (1;0), а оси 0у - (0;-1);

2) точка разрыва;

3) Из 2) следует, что вертикальная асимптота;

Находим наклонную асимптоту:

- наклонная асимптота при

4)

=

при (возрастает)

(убывает)

(возрастает)

(возрастает)

5) Из предыдущего точка максимума,

- max;

6)

при ;

При

абсцисса точки перегиба, .

Результаты исследования внесем в следующую таблицу

х		-5	(-5;-1)	(-1;1)		(1;+4)
	+		-	+		+
	-	-	-	-		+
y		-27/2- max

 

 

Задача 5.

1)Найти

Решение. Воспользуемся заменой переменной, получим

.

2)Найти

Поделиться: