РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.
Кафедра “Системы и Процессы Управления”
“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”
Харьков 2001
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях науки и техники, а также отраслях наукоемкой промышленности, таких как: авиационная, космическая, химическая, энергетическая, - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов, с дальнейшей их коррекцией.
Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов, таких как: метод прогноза и коррекции, метод Адамса-Башфорта, метод Эйлера, метод Рунге-Кута, и др. При этом, стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования, на произвольном промежутке времени. Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта. Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага, что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования.
Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов, является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей.
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
(1.1)
тогда как:
А = (1.2)
где А заданная матрица размером N x N.
- вектор с N координатами, который подлежит определению;
N – произвольное целое число;
заданные вектора правых частей с N координатами.
С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка, необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов. Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом, на заданных временных промежутках..
МЕТОДЫРЕШЕНИЯ
Метод прогноза и коррекции
Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши, а именно к численным решениям многошаговыми методами.
Рассмотрим задачу Коши:
, (2.1.1)
Подставим в (2.1.1) точное решение y(x), и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим:
(2.1.2)
где в последнем член предполагаем, что p(x) полином, аппроксимирующий f(x,y(x)). Чтобы построить этот полином, предположим, что - приближения к решению в точках . Будем считать для начала, что узлы Xi расположены равномерно с шагом h. тогда fi = f(xi,yi), (i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi),
(i =k,k-1,k-2,…,k-N). Таким образом, P – полином степени N, удовлетворяющий условиям P(xi)=fi, (i = k,k-1,k-2,…,k-N). В принципе, можем проинтегрировать этот полином явно, что ведет к следующему методу:
(2.1.3)
В простейшем случае, когда N=0, полином P есть константа, равная fk, и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера:
(2.1.4)
Если N=1, то P есть линейная функция, проходящая через точки
(xk-1,fk-1) и (xk,fk), т.е.
(2.1.5)
интегрируя этот полином от Xk до Xk+1, получим следующий метод:
(2.1.6)
который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1. Аналогично, если N=2, то P - есть кубический интерполяционный полином, а соответствующий метод определяется формулой:
(2.1.7)
Отметим, что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка, (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка.
Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках. Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных. Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера, который имеет вид:
Таким образом, подставляя начальные условия, мы находим вторую точку. Следует заметить, что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов, что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции.
Ввиду того, что стартовые методы имеют более низкий порядок, в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени. В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя. Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом.
Рассуждая также, как для метода Адамса-Башфорта, который излагается в работах: [1],[2],[3], мы мы приходим к формулам:
Прогноз:
(2.1.8)
Коррекция:
(2.1.9)
где h - шаг интегрирования, изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге:
,
где в свою очередь - малое конкретное значение, при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а - малое конкретное значение, при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N, где N - некоторое целое число больше единицы.
Оптимально, для вычисления новой точки, с помощью метода прогноза и коррекции, используется формула:
(2.1.10)
Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции, для стартования метода Адамса-Башфорта. Преимущества данного метода заключаются:в его высокой точности, авто подборе шага, что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта, и делает его оптимальным для задач такого рода.
Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома, мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,…. Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N
и построения интерполяционного полинома степени N+1, удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi, (I=k+1,k,…,k-N). При этом возникает класс методов, известных как методы Адамса-Моултона. Если N=0, то p – линейная функция, проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1), и соответствующий метод:
(2.1.11)
является методом Адаиса-Моултона [2], именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе. Если N=2, то p – кубический полином, построенный по точкам и соответствующий метод:
(2.1.12)
является методом Адамса-Моултона четвертого порядка. В силу того, что по сути fk+1 – неизвестная, то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными. В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными.
Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7), и неявной формулой (2.1.12), используя их совместно, мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка:
(2.1.13)
Стоит обратить внимание, что в целом этод метод является явным. Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом”. Затем используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона. Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение, называемое формулой Адамса-Башфорта.
Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
где
A =
Заданная матрица размером NxN; - вектор с N координатами, который подлежит определению. В связи с тем, что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A, на каждом шаге по времени, необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей, для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса, который описан в разделе 2.2.
Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами: методом Эйлера на первом шаге, трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага, на малом промежутке времени и с малым начальным шагом, для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13), [2], [3].