Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 описывался формулой (7.7) следующим образом:
Популярный критерий выбора порога для принятия двоичного решения в выражении (3.7) основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минимального значения ошибки = начинается с записи связи отношения плотностей условных вероятностей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности также называется функцией правдоподобия формулировка
(7.31)
есть критерием отношения функций правдоподобия (см. приложение Б). В этом неравенстве и являются априорными вероятностями передачи сигналов и , a и — две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки (формула (3.31)) гласит, что если отношение функций правдоподобия больше отношения априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу .
В разделе Б.3.1 показано, что при = и симметричных функциях правдоподобия (i=l, 2) подстановка формул (3.5) и (3.6) в формулу (3.31) дает
(7.3)
где — сигнальный компонент при передаче , а — сигнальный компонент при передаче . Порог , представленный выражением , — это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием минимальной ошибки.
Для равновероятных сигналов оптимальный порог , как показано на рис, 3.2, проходит через пересечение функций правдоподобия. В заключение отметим, что поскольку отношение является безразмерным, таким же является и отношение . Для проверки можно вычислить единицы измерения:
.
Лекция 8. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме
Согласованный фильтр
Согласованный фильтр (matched filter) — это линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум. Предположим, что на вход линейного, инвариантного во времени (принимающего) фильтра, за которым следует устройство дискретизации, подается известный сигнал s(t) плюс шум AWGN n(t). В момент времени t = Т сигнал на выходе устройства дискретизации z(T) состоит из компонента сигнала , и компонента шума . Дисперсия шума на выходе (средняя мощность шума) записывается как . Отношение мгновенной мощности шума к средней мощности шума, (S/N)T, в момент t = Т вне устройства дискретизации на этапе 1 равно следующему:
(8.1)
Нам нужно найти передаточную функцию фильтра с максимальным отношением (SIN)T. Сигнал на выходе фильтра можно выразить через передаточную функцию фильтра H(f) (до оптимизации) и Фурье-образ сигнала на входе
(8.2)
где S(f) — Фурье-образ сигнала на входе, s(t). Еели двусторонняя спектральная плотность мощности шума на входе равна , то с помощью формул (1.19) и (1.53) мощность шума на выходе можно записать следующим образом:
(8.3)
Объединяя формулы (3.45) и (3.47), получаем выражение для (S/N) :
(8.4)
б)
Рис. 8.1. Межсимвольная интерференция в процессе детектирование:
а) типичная низкочастотная цифровая система; б) эквивалентная модель
Здесь характеризует передающий фильтр, — фильтрацию в канале, а — принимающий/выравнивающий фильтр. Таким образом, характеристика представляет передаточную функцию всей системы, отвечающую за все этапы фильтрации в различных местах цепочки передатчик-канал-приемник. В бинарной системе, использующей какую-нибудь распространенную кодировку РСМ, например NRZ-L, детектор принимает решение относительно значения символа путем сравнения выборки принятого импульса с порогом
Например, детектор, изображенный на рис. 3.15, решает, что была послана двоичная единица, если
принятый импульс положителен, или двоичный нуль — в противном случае. Вследствие системной фильтрации принятые импульсы могут перекрываться, как показано на рис. 3.15, б. Хвост импульса может "размываться" на соседний интервал передачи символа, таким образом, мешая процессу детектирования и повышая вероятность появления ошибки; подобный процесс получил название межсимвольной интерференции (intersymbol interference — ISI). Даже при отсутствии шумов воздействие фильтрации и искажение, вызванное каналом, приводят к возникновению IS1. Иногда функция задается, и задача состоит в определении и , минимизирующих ISI на выходе .
Согласованные и обычные фильтры
Обычные фильтры отсекают нежелательные спектральные компоненты принятого сигнала при поддержании некоторой точности воспроизведения сигналов в выбранной области спектра, называемой полосой пропускания (pass-band). В общем случае эти фильтры разрабатываются для обеспечения приблизительно одинакового усиления, линейного увеличения фазы в зависимости от частоты в пределах полосы пропускания и минимального поглощения в остальной части спектра, именуемой полосой заграждения (stop-band). Согласованный фильтр имеет несколько иные "проектные приоритеты", направленные на максимизацию отношения сигнал/шум известного сигнала при шуме AWGN. В обычных фильтрах используются случайные сигналы, и результат фильтрации определяется только полосами сигналов, тогда как согласованные фильтры предназначены для известных сигналов, имеющими случайные параметры (такие, как амплитуда и время). Согласованный фильтр можно рассматривать как шаблон, который согласовывает обрабатываемый сигнал с известной формой. Обычный фильтр сохраняет временную или спектральную структуру сигнала. Согласованный фильтр, наоборот, в значительной степени модифицирует временного структуру путем сбора энергии сигнала, которая согласовывается с его шаблоном, и в завершение каждого интервала передачи символа представляет результат фильтрации в виде значения максимальной амплитуды. Вообще, в цифровой связи приемник обрабатывает поступающие сигналы с помощью фильтров обоих типов. Задачей обычного фильтра является изоляция и извлечение высокоточной аппроксимации сигнала с последующей передачей результата согласованному фильтру. Согласованный фильтр накапливает энергию принятого сигнала, и в момент взятия выборки (t = T) на выход фильтра подается напряжение, пропорциональное этой энергии, после чего следует детектирование и дальнейшая обработка сигнала.
Импульсы Найквиста
Рассмотрим последовательность информационных импульсов на входе передатчика и последовательность импульсов, получаемую на выходе согласованного фильтра с характеристикой типа приподнятого косинуса (перед дискретизацией). На рис. 3.21 переданные данные представлены импульсными сигналами, которые появляются в мо- менты времени ,.... Фильтрование приводит к расширению входных сигналов, а следовательно, к запаздыванию их во времени. Время поступления импульсов обозначим t0,, t1.... Импульс, переданный в момент времени т0, поступает в приемник в момент времени t0. Хвост, предшествующий основному лепестку демодулированного импульса, называется его предтечей (precursor). Для реальной системы с фиксированным системным эталонным временем принцип причинности предписывает условие t0 , а разность времен 0 - t0 выражает задержку распространения в системе. В данном примере интервал времени от начала предтечи демодулированного импульса и до появления его главного лепестка или максимальной амплитуды равен 3Т (утроенное время передачи импульса). Каждый выходящий импульс последовательности накладывается на другие импульсы; каждый импульс воздействует на основные лепестки трех предшествующих и трех последующих импульсов. В подобном случае, когда импульс фильтруется (формируется) так, что занимает более одного интервала передачи символа, определяется параметр, называемый временем поддержки (support time) импульса. Время поддержки — это количество интервалов передачи символа в течение длительности импульса. На рис. 3.21 время поддержки импульса равно 6 интервалам передачи символа (7 информационных точек с 6 интервалами между ними).
Время поддержки импульса Рис.8.2. Фильтрованная последовательность импульсов: выход и вход
На рис. 8.2, а показан импульсный отклик фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса (максимальное значение нормированного фильтра равно единице, коэффициент сглаживания фильтра r = 0,5), а на рис. 3.22, б изображен импульсный отклик фильтра с характеристикой типа приподнятого косинуса, называемый импульсом Найквиста (нормирование и значение коэффициента сглаживания такие же, как и на рис. 3.22, а). Изучая эти два импульса, можно заметить, что они очень похожи. Однако первый имеет несколько более частые переходы, а значит, его спектр (корень квадратный из приподнятого косинуса) не так быстро затухает, как спектр (приподнятый косинус) импульса Найквиста. Еще одним малозаметным, но важным отличием является то, что импульс Найквиста с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса не дает нулевой межсимвольной интерференции (можно проверить, что хвосты импульса на рис. 3.22, а не проходят через точку нулевой амплитуды в моменты взятия выборок). В то же время, если фильтр с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса используется и в передатчике, и в приемнике, произведение передаточных функций двух фильтров дает характеристику типа приподнятого косинуса, что означает нулевую межсимвольную интерференцию на выходе.
Было бы неплохо рассмотреть, как импульсы Найквиста с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса выглядят на выходе передатчика и какую форму они имеют после демодуляциисфильтром,характеристика которого также представляет собой корень из приподнятого
косинуса.
-3 -2 -1 0. 1 2 3
Время
Рис.8.22,б. Импульс Найквиста с характеристикой типа приподнятого косинуса
На рис. 8.23, а в качестве примера передачи приведена последовательность символов сообщения {+1 +1 -1 +3 +1 +3} из четверичного набора символов, где алфавит состоит из символов {±1, ±3}. Будем считать, что импульсы модулируются с помощью четверичной кодировки РАМ, а их форма определяется фильтром с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса с коэффициентом сглаживания r = 0,5. Аналоговый сигнал на рис. 3.23, а описывает выход передатчика. Сигнал на выходе (последовательность импульсов Найквиста, форма которых получена с выхода фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса) запаздывает относительно сигнала на входе (показанного в виде импульсов), но для удобства визуального представления, чтобы читатель мог сравнить выход фильтра с его входом, оба сигнала изображены как одновременные. В действительности передается (или модулируется) только аналоговый сигнал.
На рис. 8.23, б показаны те же задержанные символы сообщения, а также сигнал с выхода согласованного фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого.
Исследованием проблемы задания формы принятого импульса с тем, чтобы предотвратить появление ISI на детекторе, долгое время занимался Найквист [6]. Он показал, что минимальная теоретическая ширина полосы системы, требуемая для детектирования символов/секунду без ISI, равна Гц. Это возможно, если передаточная функция системы имеет прямоугольную форму, как показано на рис. 8.16, а. Для низкочастотных систем с такой , что односторонняя ширина полосы фильтра равна (идеальный фильтр Найквиста), импульсная характеристика функции , вычисляемая с помощью обратного преобразования Фурье (см. табл. А.1), имеет вид ; она показана на рис. 3.16, б. Импульс, описываемый функцией , называется идеальным импульсом Найквиста; он имеет бесконечную длительность и состоит из многочисленных лепестков: главного и боковых, именуемых хвостами.
Поскольку ограничение ширины полосы по Найквисту устанавливает теоретическое максимальное уплотнение скорости передачи символов без межсимвольной интерференции, равное 2 символа/с/Гц, может возникнуть вопрос, можно ли что-то сказать об ограничении величин, измеряемых в бит/с/Гц. О последних ничего нельзя сказать прямо; ограничение связано только с импульсами или символами и возможностью детектирования их амплитудных значений без искажения со стороны других импульсов. При нахождении длялюбой схемы передачи сигналов необходимо знать, сколько битов представляет каждый символ, что само по себе является темой отдельного рассмотрения. Допустим, сигналы кодируются с использованием М -уровневой кодировки РАМ. Каждый символ (включающий бит) представляется одной из М импульсных амплитуд. Для бит на символ размер набора символов составляет амплитуды. Таким образом, при 64-уровневой кодировке РАМ теоретическая максимальная эффективность использования полосы, не допускающая межсимвольной интерференции, равна 12 бит/с/Гц. (Подробнее об эффективности использования полосы в главе
Найквист установил, что если каждый импульс принятой последовательности имеет вид , импульсы могут детектироваться без межсимвольной интерференции. На рис. 3.16, б показано, как удается обойти ISI. Итак, имеем два последовательных импульса, и . Несмотря на то что хвосты функции имеют бесконечную длительность, из рисунка видно, что в момент взятия выборки функции хвост функции проходит через точку нулевой амплитуды, и подобным образом он будет иметь нулевую амплитуду в моменты взятия выборок всех остальных импульсов последовательности , . Следовательно, предполагая идеальную синхронизацию процесса взятия выборок, получаем, что межсимвольная интерференция не будет влиять на процесс детектирования. Чтобы низкочастотная система могла детектировать таких импульсов (символов) в секунду, ширина ее полосы должна быть равна ; другими словами, система с шириной полосы Гц может поддерживать максимальную скорость передачи символов/с (ограничение полосы по Найквисту) без ISI. Следовательно, при идеальной фильтрации Найквиста (и нулевой межсимвольной интерференции) максимальная возможная скорость передачи символов на герц полосы, называемая уплотнением скорости передачи символов (symbol-rate packing), равна
2 символа/с/Гц. Вследствие прямоугольной формы передаточной функции идеального фильтра Найквиста и бесконечной длины соответствующего импульса, подобные идеальные фильтры нереализуемы; реализовать их можно только приближенно.
а)
Рис. 8.16. Каналы Найквиста для нулевой межсимвольной интерференции: а) прямоугольная передаточная функция системы ; б) принятый импульс
Стоит отметить, что названия "фильтр Найквиста" и "импульс Найквиста" часто используются для описания обширного класса фильтраций и импульсных форм, удовлетворяющих условию нулевой межсимвольной интерференции в точках взятия выборок. Фильтр Найквиста — это фильтр, передаточная функция которого может быть представлена прямоугольной функцией, свернутой с любой четно-симметричной частотной функцией. Импульс Найквиста — это импульс, форма которого может быть описана функцией ,умноженной на другую временную функцию. Следовательно, существует бесконечное множество фильтров Найквиста и соответствующих импульсов. В классе фильтров Найквиста наиболее популярными являются фильтры с характеристикой типа приподнятого косинуса или корня из приподнятого косинуса. Несколько позже эти фильтры будут рассмотрены подробно.
Основным параметром систем связи является эффективность использования полосы, ,измеряемая в бит/с/Гц. Как можно понять из единиц измерения, представляет меру скорости переноса данных на единицу ширины полосы, а значит, показывает, насколько эффективно любой метод передачи сигналов использует ресурс полосы.
Характеристики канала
Многие каналы связи (например, телефонные или беспроводные) можно охарактеризовать как узкополосные линейные фильтры с импульсной характеристикой h,(t) и частотной характеристикой
Hc(f) =\Hc(f)\eio(f) ,
где hc(t) и Hc(f) — Фурье-образы друг друга, \Нс(f)\ — амплитудная характеристика канала,
а Oc(f) — фазовая характеристика канала.
Тема лекции 9.. Полосовая модуляция и демодуляция
Цифровая модуляция – это процесс преобразования цифровых символов в сигналы, совместимые с характеристиками канала. При низкочастотной модуляции (baseband modulation) эти сигналы обычно имеют вид импульсов заданной формы. В случае полосовой модуляции (bandpass modulation) импульсы заданной формы модулируют синусоиду, называемую несущей волной (carrier wave), или просто несущей (carrier); для радиопередачи на нужное расстояние несущая преобразуется в электромагнитное поле. Может возникнуть вопрос: зачем для радиопередачи низкочастотных сигналов нужна несущая? Ответ звучит следующим образом. Передача электромагнитного поля через пространство выполняется с помощью антенн. Размер антенны зависит от длины волны λ и текущей задачи. Для переносных телефонов размер антенны обычно равен λ /4, а длина волны с/f, где с – скорость света, 3 ∙ 108 м/с. Рассмотрим передачу низкочастотного сигнала (скажем, имеющего частоту f = 3000 Гц), поступающего прямо в антенну без использования несущей. Какая антенна нам понадобится? Возьмем стандарт телефонной промышленности, λ /4. Получаем, что для сигнала 3000 Гц λ /4 = 2,5 ∙ 104м = 25 км. Итак, для передачи через пространство сигнала с частотой 3000 Гц без модулирования несущей требуется антенна размером 25 км
. При этом, если низкочастотная информация модулируется несущей более высокой частоты, например 900 МГц, размер антенны будет составлять порядка 8 см. Приведенные вычисления показывают, что модулирование несущей частоты, или полосовая модуляция, – это этап, необходимый для всех систем, использующих радиопередачу.
Полосовая модуляция имеет и другие важные преимущества при передаче сигналов. При использовании одного канала более чем одним сигналом, модуляция может применяться для разделения различных сигналов. Подобный метод, известный как уплотнение с частотным разделением (frequency-division multiplexing – FDM), рассматривается в главе П. Модуляция мoжет использоваться и для минимизации последствий интерференции. Класс схем модуляции, известный как модуляция расширенным спектром, требует полосы, значительно превышающей минимальную полосу, необходимую для передачи сообщения. В главе 12 рассмотрены компромиссы, связанные с выбором полосы, снижающим интерференцию. Кроме того, модуляция может использоваться для перемещения cигнала в диапазон частот, в котором легко удовлетворяются специфические конструктивные требования, например, относящиеся к фильтрации и усилению. Примером такого применения модуляции является преобразование в приемнике радиочастотных сигналов в сигналы промежуточной частоты.