Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования.




Известные блочные коды

Коды Хэмминга

Коды Хэмминга (Hamming codes) — это простой, класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:

(n, k ) = ( - 1, - 1 - т), (13.1)

где m = 2, 3,.... Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все модели ошибки из двух или малого числа ошибок в блоке. Декодиро­вание с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактиче­ски синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки [5]. Хотя Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ог­раниченному классу блочных кодов, называемых совершенными; их особенности опи­сывались в разделе 6.5.4 коды. Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появ­ления битовой ошибки можно записать с помощью уравнения (6.46):

(13.2)

 

Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале). Для отдельных кодов коррекции ошибок (таких как ко­ды Хэмминга) вместо уравнения (6.72) мы можем использовать другое эквивалентное уравнение (это уравнение (Г. 16), которое выводится в приложении Г ):

(13.3)

На рис. 6.21 Л.2 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном символе, на котором сравниваются разные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения m = 3, 4 и 5 или (п, к)- (7,4), (15, 11), (31,26). Для описания гауссового канала с использованием коге­рентной демодуляции сигналов BPSK, вероятность ошибки в канальном символе можно выразить через , как это было сделано в уравнении (4.79Л2):

(13.4)

Вероятность ошибочного приёма канального символа, р

Рис. 11.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности

ошибки в канальном символе для нескольких блочных кодов

 

. Здесь отношение энергии кодового символа к спектральной плотности мощ­ности шума, a Q(X) определено в уравнении (3.43). Чтобы связать с энергией би­та информации на единицу плотности спектрального шума (), используем сле­дующее выражение:

. (11.5)

Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) принимает следующий вид:

. (11.6)

Объединяя уравнения (6.73), (6.74) и (6.76), при когерентной демодуляции сигна­лов BPSK в гауссовом канале можно выразить как функцию . Результаты для различных типов блочных кодов отображены на рис. 11.22. Для кодов Хэмминга взяты следующие значения (п,к)= (7,4), (15, 11), (31,26).

 

(дБ)

Рис. 11.22. Зависимость от при когерентной

демодуляции сигна­лов BPSK в гауссовом канале для

нескольких блочных кодов

Расширенный код Голея

Одним из наиболее практичных блочных кодов является двоичный расширенный код Голея (extended Golay code) (24, 12), который образован путем прибавления битов чет­ности к совершенному коду (23, 12), известному как код Голея (Golay code). Эти до­полнительные биты повышают минимальное расстояние с 7 до 8, что дает степень кодирования 1/2, реализовать которую проще (с точки зрения системного тактового генератора), чем степень кодирования кода Голея, равную 12/23. Расширенный код Голея значительно мощнее рассмотренного в предыдущем разделе кода Хэмминга. Цена, которую приходится платить за повышение эффективности, заключается в бо­лее сложном декодере и, соответственно, более широкой полосе пропускания.

Для расширенного кода Голея , поэтому, исходя из уравнения (6.44), можно сказать, что код гарантирует исправление всех трехбитовых ошибок. Кроме того, де­кодер можно сконструировать так, чтобы он исправлял некоторые модели с четырьмя ошибками. Поскольку исправить можно только 16,7% моделей с четырьмя ошибками, декодер, для упрощения, обычно реализуется для исправления только трехбитовых моделей ошибки [5]. Если предположить жесткое декодирование, то вероятность би­товой ошибки для расширенного кода Голея можно представить как функцию веро­ятности р ошибки в канальном символе (см. уравнение (6.46)):

(11.77)

График зависимости (11.77) показан на рис. 6.21; вероятность появления ошибки для рас­ширенного кода Голея значительно меньше, чем у кодов Хэмминга. Исходя из уравне

 

 

Коды БХЧ

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose-Chadhuri-Hocquenghem — ВСН, БХЧ) явля­ются результатом обобщения кодов Хэмминга, которое позволяет исправлять множе­ственные ошибки. Они составляют мощный класс циклических кодов, который обеспе­чивает достаточную свободу выбора длины блока, степени кодирования, размеров ал­фавита и возможностей коррекции ошибок. В табл. 6.4 приводятся наиболее часто употребляемые при создании кодов БХЧ генераторы g(x) [8] с разными значениями п, к и t для блоков длиной до 255. Коэффициенты g{x) представлены восьмеричными числами, оформленными так, что при преобразовании их в двоичные символы край­ние правые разряды отвечают коэффициенту нулевой степени в g(x). С помощью табл. 6.4 можно легко проверить свойство циклического кода — полиномиальный ге­нератор имеет порядок п - к. Коды БХЧ очень важны, поскольку при блоках, длина которых равна порядка несколько сотен, коды БХЧ превосходят своими качествами все другие блочные коды с той же длиной блока и степенью кодирования. В наиболее часто применяемых кодах БХЧ используется двоичный алфавит и блок кодового слова длиной , где т = 3,4,....

Из названия табл. 6.4 Л2 ясно, что показаны генераторы только для примитивных кодов БХЧ. Термин "примитивные" (primitive) — это теоретико-числовое понятие, требующее алгебраического рассмотрения [7, 10-11], которое представлено в разде­ле 8.1.4Л2. На рис. 6.21 и 6.22 изображены графики вероятности ошибки для двух ко­дов БХЧ: (127, 64) и (127, 36). На рис. 6.21 показана зависимость от вероятности ошибки в канальном символе при жестком декодировании. На рис. 6.22 показана зависимость от для когерентно де модулирован но го сигнала BPSK в гауссо­вом канале. Кривые на рис. 6.22 выглядят совсем не так, как можно было бы ожи­дать. Все они имеют одну и ту же длину блока, но большая избыточность кода (127, 36) не дает той эффективности кодирования, какая имеется у менее избыточ­ного кода (127, 64). Известно, что относительно широкий максимум эффективности кодирования, в зависимости от степени кодирования при фиксированном n, для ко­дов БХЧ находится примерно между степенью 1/3 и 3/4 [12]. Стоит также отметить, что передача по гауссову каналу сильно ухудшается при переходе от очень высоких до очень низких степеней [11].

На рис. 11.23 показаны расчетные характеристики кодов БХЧ для когерентно демо-дулированного сигнала BPSK с жестким и мягким декодированием. Мягкое декодиро­вание для блочных кодов не применяется из-за своей сложности, хотя оно и дает уве­личение эффективности кодирования порядка 2 дБ по сравнению с жестким декоди­рованием. При данной степени кодирования вероятность ошибки при декодировании уменьшается с ростом длины блока п [4]. Таким образом, при данной степени кодиро­вания интересно рассмотреть необходимую длину блока для сравнения характеристик жесткого и мягкого декодирования. На рис. 6.23 все коды показаны со степенью ко­дирования, равной приблизительно 1/2. Из рисунка [13] видно, что при фиксирован­ной степени кодирования и жестком декодировании кода БХЧ длиной 8л или более наблюдаются лучшие характеристики, чем при мягком декодировании кода БХЧ дли­ной п. Существует специальный подкласс кодов БХЧ (которые были разработаны раньше кодов БХЧ), который является недвоичным набором; это коды Рида-Соломона (Reed-Solomon code). Подробнее об этих кодах будет рассказано в разделе 8.1.

(дБ)

Рис. 11.23. Зависимость от для когерентно де-модулируемого сигнала BPSK в гауссовом канале с ис­пользованием кодов БХЧ. (Перепечатано с разрешения автора из L. J. Weng. "Soft and Hard Decoding Perform­ance Comparison for BCH Codes", Proc. Int. Conf. Commun., 1979, Fig. 3, p. 25.5.5.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-15 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: