Задача №1.
Экспертами оценивались вкусовые качества вин.
Суммарные оценки получены следующие.
Марка вина | Оценка в баллах | Цена в условных единицах: |
1,57 | ||
1,60 | ||
2.00 | ||
2,10 | ||
1,70 | ||
1,85 | ||
1,80 | ||
1,15 | ||
2,30 | ||
2,40 |
Согласуется ли оценка вина с его ценой? Проверим эту гипотезу методом ранговой корреляции Спирмена и коэффициентом Фехнера.
Решение:
Оценку тесноты связи с помощью коэффициента Спирмена и Фехнера рассчитываем в табличной форме
Марка вина | Цена (x) | Оценка (y) | Квадрат разности рангов d2=(Rx-Ry)2 | Знак отклонения от средней арифметической | |||
Усл. ед | Ранг Rx | Баллы | Ранг Ry | x- | y- | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
1 | 1,57 | 2 | 11 | 2 | 0 | - | - |
2 | 1,60 | 3 | 14 | 5 | 4 | - | - |
3 | 2,00 | 7 | 17 | 7 | 0 | + | + |
2,10 | 8 | 16 | 6 | 4 | + | +- | |
1,70 | 4 | 12 | 3 | 1 | - | - | |
1,85 | 6 | 13 | 4 | 9 | + | - | |
1,80 | 5 | 18 | 8 | 9 | - | + | |
1,15 | 1 | 10 | 1 | 0 | - | - | |
2,30 | 9 | 19 | 9 | 0 | + | + | |
2,40 | 10 | 25 | 10 | 0 | + | + | |
Итого | 18,17 | x | 155 | x | 27 | x | X |
Коэффициент Спирмена
Следовательно, связь прямая и тесная.
Для определения коэффициента Фехнера рассчитаем среднее значение цены
и среднее значение оценки
Тогда количество совпадений знаков отклонений
x- и y- будет равно 8, а несовпадений 2, Отсюда Коэффициент Фехнера
Следовательно, связь прямая и существенная.
Задача №2.
На основании следующих условных данных необходимо исследовать связь между успеваемостью студентов - заочников одного из вузов и их работой по специальности с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.
Студенты-заочники | число | в том числе | |
студентов | получивших положительные оценки | получивших неудовлетворительные оценки | |
Работающие по специальности | а+с | а | 20 с |
Работающие не по специальности | 200 b+d | 140 b | d |
Итого | a+c+b+d | 320 a+b | c+d |
Решение:
Коэффициент ассоциации
Связь подтверждается т.к. Кa≥0,5 Коэффициент контингенции
Связь подтверждается т.к. Кk=0,3
Задача № 3.
С помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова необходимо исследовать связь между себестоимостью продукции производительностью труда на основании нижеследующих данных:
Себестоимость | Производительность труда | Итого | ||
Высокая | Средняя | Низкая | ||
Низкая | ||||
Средняя | ||||
Высокая | ||||
Итого |
Решение:
Коэффициент Пирсона:
А
Следовательно, связь средняя. Коэффициент Чупрова
Следовательно связь средняя.
Задача № 4.
По результатам экспертной оценки степени влияния факторов на уровень производительности труда факторам были присвоены следующие ранги
Фактор | |||||||||||||||
Ранг экспертов (x) | |||||||||||||||
Ранг после расчета коэффициента корреляции(y) |
Определить с помощью коэффициента корреляции рангов Кендалла насколько точно результаты экспертной оценки предугадали действительную степень влияния факторов на уровень производительности труда.
Решение:
Коэффициент корреляции рангов Кэндапла:
т.к. S=P+Q определяем Р=81 это количество чисел, находящихся после каждого ю элементов последовательности рангов переменной у, имеющих величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента т.е.числу у=3 соответствует 12 чисел (7,6,8,4,5,13,14,9,12,11,15,10), второму значению у=2 соответствует тоже12 чисел (7,6,8,4,5,13,14,9,12,11,15,10), третьему значению у=7 соответствует 8 чисел (8,13,14,9,12,11,15,10)и так далее. Отсюда P=12+12+8+8+10+7+8+7+2+1+4+1+1=81.
Далее определяем Q =24,т.е. количество чисел после каждого из членов последовательности рангов переменной у, имеющих ранг меньше, чем у рассматриваемого. Эти числа берутся со знаком минус. Так у=3 соответствует 2 числа (-2,-1), для у=2 соответствует 1 число (-1), для у=7 соответствует 4 числа (-6,-1,-4,-5) и так далее. Отсюда Q=2-1 -4-3-0-2-0-0-4-4-0-2-1-1=-24 Следовательно степень влияния отобранных факторов на производительность труда экспертами была существенной.
Задача №5.
По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме товарной продукции определите уравнение связи и тесноту связи:
Стоимость основных производственных фондов, млн.руб.(х) | Объем товарной продукции, млн. руб. (y) | ху | X2 | y2 | ¯yx |
А | Б | ||||
19.4 | |||||
25,0 | |||||
30,6 | |||||
36,2 | |||||
41,8 | |||||
47,4 | |||||
53.0 | |||||
58,6 | |||||
64,2 | |||||
69,8 | |||||
446.0 |
Связь предполагается линейная, уравнение прямой ¯yx=a0+a1x
Решаем систему уравнений методом наименьших квадратов либо по формулам (1.7.6) и (1.7.7):
a0=13,8 ¯yx=13,8+5,6x
a1=5,6
Коэффициент регрессии а1 свидетельствует о том, что при увеличении объема основных фондов на 1млн. руб.количество товарной продукции увеличится на 5,6 млн.руб. Тесноту связи определяем по линейному коэффициенту корреляции
Следовательно, связь прямая и очень тесная.
Задача № 6.
№№ колхоза | Внесено удобрений на 1 га. ц(х) | Урожайность ц\га (У) | x2 | X3 | X4 | х | х2у | x |
0,4 | 0,16 | 0,064 | 0,0256 | 5,8 | 2,24 | 14,98 | ||
0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 8,0 | 4,00 | 17,11 | ||
0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 9,5 | 4,75 | 17,11 | ||
- | - | - | - | - | - | - | - | - |
1,4 | 1,96 | 2,744 | 3,8416 | 44,8 | 62,72 | 30,02 | ||
1,5 | 2,25 | 3,375 | 5,0625 | 45,0 | 67,50 | 30,77 | ||
итого | 30.0 | 32,90 | 38,484 | 47,0762 | 791,1 | 899,95 | 750,0 |
Произведем выравнивание по параболе второго порядка:
Решаем систему нормальных уравнений:
30a+32,90a1+38,484a2=781,1
32,90a0+38,484a1+47,0762a2=899,95
Решение этой системы уравнений методом наименьших квадратов или по формулам (1.7.6) и (1.7.7) дает следующие значения параметров:
a0=5,086 a1=27,511 a2=-6,927 =5,086+27,511x-6,927x2
Задача № 7.
Для изучения тесноты связи между выпуском продукции на 1 завод и оснащенностью заводов основными фондами определите по следующим данным эмпирическое корреляционное отношение:
№№ п\п | Стоимость основных фондов, млн.руб(х). млн | Товарная продукция, млн.руб (У). | У2 |
… | … | … | … |
Итого |
Результат группировки данных по стоимости основных фондов представлен в нижеследующей таблице
Группы заводов по стоимости основных фондов,млн.руб. | Число заводов | Товарная_продукция, млн._руб.. | ||
Всего | В среднем на 1 завод | |||
7-37 | ||||
37-67 | ||||
67-97 | ||||
97-127 | ||||
В данной задаче факторный признак оснащенность основными фондами (х), А результативный - выпуск продукции на 1 завод (у).
Решение:
Корреляционное отношение определяется по формуле
где общая дисперсия признака y, , а межгрупповая дисперсия
, вычисляем по данным группировки в вышеизложенной таблице, - это выпуск товарной продукции в среднем на1 завод в каждой группе, т.е.
,
,
,
Общая средняя признака у, =2017/30=66 fi -число предприятий в каждой группе,
заводам.
Составим расчетную таблицу:
fi | ||||
-53 | ||||
-14 | ||||
+15 | ||||
+75 | ||||
Итого | X | X |
Определяем межгрупповую дисперсию
Общая дисперсия определяется по исходным данным:
где
Теперь можно вычислить корреляционное отношение:
Это означает, что связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции тесная.