Задача №1.
По данным о вводе в действие жилых домов (таблица 1) необходимо рассчитать
1, Цепные, базисные и средние:
а) абсолютные приросты;
б) темпы роста;
в) темпы прироста;
2. Абсолютное значение 1
% прироста.
Таблица 1. Ввод в действие жилых домов, млн. кв.м.
| Текущий | ||||||
| номер | ||||||
| Года t | ||||||
| Общая | 7,0 | 6,5 | 5,9 | 5,5 | 4,9 | |
| площадь | ||||||
| млн.кв.м | ||||||
Решение:
Представим расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста в таблице 2
| t | yt млн.кв. м. | Абсолютный прирост,млн. кв.м. | |
| Цепной | Базисный | ||
| 7,0 | - | - | |
| 6,5 | 6,5-7,0=-0,5 | 6,5-7,0= -0,5 | |
| 5,9 | 5,9-6,5=-0,6 | 5,9-7,0= -1,1 | |
| 5,5 | 5,5-5,9= -0,4 | 5,5-7,0=-1,5 | |
| 4,9 | 4,9-5,5=-0,9 | 4,9-7,0=-2,1 |
| t | Yt,МЛН.КВ .м | Темп роста, % | |
| Цепной Трц -100 | Базисный Tpб — 100 | ||
| 7,0 | - | - | |
| 6,5 | (6,5:7,0)100=92,86 | (6,5:7,0)100=92,86 | |
| 5,9 | (5,9:6,5)100=90,77 | (5,9:7,0)100=84,29 | |
| 5.5 | (5,5:5,9)100=93,22 | (5,5:7,0)100=78,57 | |
| 4,9 | (4,9:5,5)100=89,09 | (4,9:7,0)100=70,00 |
| t | Yt млн.кв.м. | Темп прироста,% | Абсолютное значение 1% прироста | |
| Цепной | Базисный | Yn-1:100млн.кв.м. | ||
| 7,0 | - | - | - | |
| 6,5 | 92,86-100=-7,14 | 92,86-100=-7,14 | 0,070 | |
| 3 | 5,9 | 90,77-100=-9,23 | 84,29-100=-15,71 | 0,065 |
| 5,5 | 93,22-100=-6,78 | 78,57-100=-21,43 | 0,059 | |
| 4,9 | 89,09-100=-10,91 | 70,00-100=-30,00 | 0,055 |
Для получения обобщающих показателей динамики развития определим средние характеристики % средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост равен:
то есть, в среднем ежегодно общая площадь вводимого жилья уменьшалась на 0,525 млн. кв. м. Определим средний темп роста:
то есть, в среднем ежегодно строительство жилья составляло 91,47 % уровня базисного года.
Средний темп пророста
то есть в среднем ежегодно строительство жилья снижалось на 8,53 %.
Задача №2.
Имеются следующие данные о поголовье крупного рогатого скота на 1 января:
Годы 1-ый 2-ой 3-ий 4-ый
Млн. голов 60,4 61,0 60,3 69,2
Решение:
так как это моментный ряд с равным интервалом (1 год), то средний уровень ряда определяется по средней хронологической:
Задача №3.
Имеются данные об уровне запасов картофеля на начало года:
Годы 1-ый 5-ый 6-ой
Млн. т. 2103 2170 1584
Решение:
так как это моментный ряд с неравным интервалом, то среднегодовой уровень определяется по формуле средней скользящей взвешенной:
Задача №4.
Численность работников организации с 1 января до 9 января была 180 человек, 9 января были приняты 7 человек, 15 января уволены 2 человека, 25 января были приняты 5 и уволены 10. До конца месяца изменений не было. Определите среднюю списочную численность работников организаций в январе.
Решение:
так как это интегральный рад с неравным интервалом, то средний уровень ряда определяем по средней арифметической взвешенной:
Решение типовых задач к вопросу: Статистические методы прогнозирования рядов динамики.
Задача №1
Проверка гипотезы на существование тренда.
В таблице 1. представлены годовые данные об урожайности зерновых культур.
Таблица 1 Урожайность зерновых культур п/га
| t | 1 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | |||||
| yt | 6.7 | 7,3 | 7.6 | 7,9 | 7,4 | 8,6 | 7,8 | 7,7 | 7,9 | 8,2 | А | |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |||
| 9,1 | 8,3 | 8,7 | 8,9 | 9,1 | 9,5 | 10,4 | 10,5 | 10,2 | 9.3 | |||
Определить: существует ли тенденция в исследуемом процессе.
Решение:
Процесс формирования серий показан в таблице 2. Во второй строке этой таблицы в соответствии указан «+», если последующее значение уровня ряда больше предыдущего,
«-», если - меньше.
Таблица 2 Формирование серий
| i | 2 | 3 | 4 | 6, | 8 | 9 | 10 | |||
| + | + | + | - | + | - | - | + | + | + |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 20 | ||||
| + | - | + | + | + | + | + | + | - | - |
Анализ полученной последовательности знаков позволил число серий v(21)=8 протяженность самой длинной серии 
(21) = 6
Табличное значение (см.табл.1.8.2.) 
(21) = 6
Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:
Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства не выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, динамика временного ряда характеризуется наличием систематической составляющей - в изменении урожайности присутствует динамика.
Задача № 2.
Методы сглаживания временных рядов.
По данным об урожайности (табл. 1) за 16 лет рассчитайте: трех-, семилетние скользящие средние и графически сравните результаты; пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.
Таблица1. Урожайность пшеницы, ц/га
| t | ||||||||
| yt | 10,3 | 14,3 | 7,7 | 15,8 | 14,4 | 16,7 | 15,3 | 20,2 |
| t | ||||||||
| yt | 17,1 | 7,7 | 15,3 | 16,3 | 19,9 | 14,4 | 18,7 | 20,7 |
Решение:
1. Результаты расчетов представлены в табл.2.
Таблица 2. Расчет скользящих средних
| t | yt | i=3 | i=7 | i=5 | ||
| 10,3 | - | - | - | |||
| 14,3 | 10,8 | - | - | |||
| 7,7 | 12,6 | - | 11,9 | |||
| 15,8 | 12,6 | 13,5 | 12,6 | |||
| 14,4 | 15,6 | 14,9 | 16,2 | |||
| 16,7 | 15,5 | 15,3 | 15,2 | |||
| 15,3 | 17,4 | 15,3 | 17,4 | |||
| 20,2 | 17,5 | 15,2 | 18,8 | |||
| 17,1 | 15,0 | 15,5 | 15,2 | |||
| 7,7 | 13,4 | 16,0 | 11,7 | |||
| 15,3 | 13,1 | 15,8 | 12,5 | |||
| 16,3 | 17,2 | 15,6 | 18,1 | |||
| 19,9 | 16,9 | 16,1 | 17,3 | |||
| 14,4 | 17,7 | - | 17,3 | |||
| 18,7 | 17,9 | - | - | |||
| 20,7 | - | - | - | |||
При трехлетней скользящей средней (i=3)
и т.д.
При семилетней скользящей средней (i=7)
и т.д.
2. Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся таблицей 1. Тогда
И т.д.
Задача № 3,
Пусть сглаживание осуществляется по пятичленной скользящей средней (I=5), причем аппроксимация осуществляется квадратичным полиномом (m=2). Требуется определить весовые коэффициенты для восстановления двух последних уровней рада.
Решение:
Осуществим перенос начала координат в середину активного участка:
t=-2;-1;0;+1;+2;
После этого система нормальных уравнений примет вид:
(1.8.53)
Из первого и третьего уравнений определим выражение для коэффициента a0:
или в символической записи
Выразим теперь остальные неизвестные параметры из системы уравнений (1.8.54):
Полученные выражения для коэффициентов a0,a1,a2, подставим в уравнение сглаживающего квадратического полинома:
Последовательно подставляя в это выражение t=1;2, получим весовые коэффициенты для восстановления последних уровней ряда:
- при t=l (восстановление предпоследнего уровня ряда)
-при t=2(восстановление последнего уровня ряда)
Если последними пятью уровнями ряда были 0; 1; 4; 9; 16, то восстановление двух последних значений осуществлялось бы следующим образом:
- при t=1
-при t=2
Задача №4
Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временных радов.
Необходимо выравнить рад динамики с помощью уравнения линейного тренда y=a0+a1 
| t | yt | t2 | yt
| 
|
| 387,6 | 387,6 | 403,5 | ||
| 399,9 | 799,8 | 396,9 | ||
| 404,4 | 1212,0 | 390,2 | ||
| 383,1 | 1532,4 | 383,6 | ||
| 376,9 | 1884,5 | 376,9 | ||
| 377,7 | 2266,2 | 370,3 | ||
| 358,1 | 2506,7 | 363,7 | ||
| 371,9 | 2975,2 | 357,1 | ||
| 337,4 | 3000,6 | 350,4 | ||
| Итого | 3392,6 | 16565,0 | 3392,6 |
Решение:
Параметры a0 и a1 находим по формулам:
n=9
Подставляя в уравнение yt=410,12-6,63t вместо t числовые значения текущих лет (дней, месяцев) - 1,2,3,...n получим выравненные значения yt то есть 
t (графа 5 таблицы1).
Задача №5.
Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временного ряда.
В таблице 1. представлен ряд динамики условного экономического показателя (у) за девять лет (t).
| t | |||||||||
| y | 387,6 | 399,9 | 404,0 | 383,1 | 376,9 | 377,7 | 358,1 | 371,9 | 333,4 |
Рассчитать доверительный интервал прогноза по уровню тренда.
Решение:
По данным таблицы 1. построим уравнение линейного тренда.
y=a0+a1
Расчет параметров a0,a1 производится по методу наименьших квадратов, для чего строится система нормальных уравнений:
отсюда,
В результате получим линейное уравнение у = 410,12 — 6,63 t
,R2 =0,716
Последовательно подставляя в полученное уравнение вместо t его численные значения 1-год, 2-год,3-год и т.д. получим расчетные значения 
t .
| t | yt | t
| (yt- t )
| (yt- t )2
|
| 387,6 | 403,5 | -15,9 | 252,81 | |
| 399,9 | 396,9 | 3,0 | 9,0 | |
| 404,0 | 390,2 | 190,44 | ||
| 383,1 | 383,6 | -0,5 | 0,25 | |
| 376,9 | _376,9 | |||
| 377.7 | 370,3 | 7,4 | 154,76 | |
| 358,1 | 363,7 | -5,6 | 31,36 | |
| 371,9 | 537,1 | 14,8 | 219,04 | |
| 333,4 | 350,4 | -17,0 | 289,4 | |
 0 1046,66
|
Колеблемость уровней динамического ряда относительно тренда определяется по формуле
Тогда доверительный интервал для тренда составит:
t ±taS
где ta- табличное значение критерия Стьюдента.
При a=0,05 и числе степеней свободы равном 7,для нашего примера, ta = 2,365 и доверительный интервал для тренда равен
±10,78 • 2,365 или t = ±25,5
Если распространить этот интервал прогноза на следующий 10-й год (t=10), то он составит 
=10 ±25,5или при =10 =343,8 прогнозная величина находится в интервале
343,4-25,5≤yt=10≤343,8+25,5
318,3≤yt=10≤369,3
Задаче № 6.
Методы изучения сезонных колебаний.
В таблице 1 представлены условные данные о ежемесячном выпуске продукция за три года. Необходимо рассчитать индекс сезонности.
Таблица 1.
Производство условного продукта по месяцам в расчет индексов.
| месяц | 1-й год | 2-й год | 3-й год | В среднем за месяц
 i
| Is% |
| 10,2 | 9,7 | 11,8 | 10,6 | 57,6 | |
| 15,2 | 16,1 | 14,4 | 15,2 | 82,5 | |
| 17,3 | 14,8 | 15,6 | 15,9 | 86,3 | |
| 19,4 | 22,7 | 16,5 | 19,5 | 105,9 | |
| 21,2 | 25,4 | 29,1 | 25,2 | 136,8 | |
| 26,1 | 28,2 | 25,2 | 26,5 | 143,9 | |
| 28,3 | 25,8 | 23,5 | 25,6 | 140,6 | |
| 21,4 | 23,3 | 23,6 | 22,8 | 123,8 | |
| 22,1 | 20,7 | 18,2 | 20,3 | 110,2 | |
| 14,6 | 15,2 | 16,3 | 15,4 | 83,6 | |
| 9,5 | 8,6 | 13,3 | 10,5 | 157,0 | |
| 12,4 | 12,9 | 14,6 | 13,3 | 72,2 | |
| Итого | 217,7 | 223,4 | 221,1 | 221,1 | 1200,4 |
| В среднем | 18,14 | 18,61 | 18,51 |  =18,42
|
Решение:
Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня. В нашем примере за три года (
). Затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда 
. После чего определяется показатель сезонной волны - индекс сезонности Is как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню, %.
где 
- средний уровень для каждого месяца (за три года); - среднемесячный уровень для всего ряда.
Средний индекс сезонности для 12 месяцев должен быть равен 100%, тогда сумма индексов должна составлять 1200. В нашем примере это отношение равно 1200,4 (небольшая погрешность — следствие округления).
Задача № 7.
Упрощенные приемы прогнозирования. Прибыть за год характеризуется данными, приведенными в таблице 1.
| , прибыль, тыс.руб.
|  2
| |
| 1-е полугодие | 63,5 | 0,92 |
| 2-е полугодие | 64,5 | 0,86 |
Оценим существенность различий в дисперсиях: F=0,92/0,86=1,07 при табличном значении 5,05 (для а =0,05 и при числе степеней свободы 5 и 5). Дисперсии можно признать равными. Тогда оценим существенность расхождения в среднемесячных уровнях прибыли за каждое полугодие по t-критерию Стьюдента:
Произведя дальнейшие вычисления, находим, что t= 1,84. Это меньше
i т= 2,23. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно признать, что тенденции в ряду динамики нет.
Прогноз по стационарному ряду основан на предположении о неизменности в будущем среднего уровня динамического ряда, т.е.
yp=
где yp - прогнозное значение. Так как средний уровень
динамического ряда имеет погрешность как выборочная средняя и, кроме того, отдельные уровни ряда колеблются вокруг среднего значения, принято прогноз давать в интервале:
где — среднее значение по динамическому ряду:
-среднее квадратическое отклонение по динамическому ряду;
n- длина динамического ряда. 
- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а числе степеней свободы (n-1). Для нашего примера:
=1/2(63,5+64,5)=64,0
где 
- межгрупповая дисперсия; 
- внутригрупповая
дисперсия.
и 
ta=0,05,n-1=11=2,201
Тогда ошибка прогноза составит:
2,201 
Соответственно прогноз прибыли на январь следующего года окажется таким:
61 
Задача № 8.
Метод экспоненциального сглаживания.
Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM (таблица 1).
В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из пяти первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений параметров адаптации а:
а) а=0,1; б) а=0,5.
Курс акций фирмы IBM долл. США Таблица 1.
| t | yt | t | yt | t | yt |
Решение:
1. Определим
Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1
a=0,1 по условию
И т.д.
Результаты расчетов представлены в табл.2. Проведем аналогичные расчеты для а=0,5.
Результаты расчетов также представлены в таблице 2.
Экспоненциальные средние Таблица2.
| t | а=0,1 | а=0,5 | t | а=0,1 | а=0,5 |
| 506,4 | 508,0 | 505,7 | 513,3 | ||
| 505,5 | 502,5 | 506,1 | 511,7 | ||
| 505,3 | 503,2 | 506,1 | 5О8,8 | ||
| 505,8 | 506,6 | 507,0 | 511,9 | ||
| 506,1 | 507,8 | 508,5 | 517,0 | ||
| 505,8 | 505,4 | 509,9 | 520,0 | ||
| 505,2 | 502,7 | 511,6 | 523,5 | ||
| 504,7 | 501,4 | 512,8 | 523,2 | ||
| 504,2 | 500,7 | 514,3 | 525,6 | ||
| 503,3 | 497,8 | 515,8 | 527,3 | ||
| 502,4 | 495,9 | 518,0 | 523,7 | ||
| 502,0 | 497,5 | 520,1 | 525,8 | ||
| 502,0 | 499,7 | 522,2 | 538,4 | ||
| 502,7 | 504,4 | 524,3 | 540,7 | ||
| 505,0 | 514,7 | 525,9 | 540,9 |
При а=0,1 экспоненциальная средам носит более гладкий характер,так как в этом случае в случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
Задача №9.
Метод гармонических весов.
В таблице 1 дан ряд динамики производства продукции за 9 лет.
Таблица 1
| 1-год | 2- год | 3-год | 4-год | 5-год | 6-год | 7-год | 8-год | 9-год |
| 10,0 | 11,1 | 12,1 | 12,5 | 13,7 | 13,9 | 19,6 | 15,9 | 19,0 |
Решение:
Предварительно ряд динамики был проверен на выполняемость предпосылок, на которых базируется метод. Далее находим параметры уравнений отдельных фаз движения скользящего тренда. В нашем примере к=3, тогда находим: (9-3+1)=7 уравнений:
С помощью полученных уравнений определяем значение скользящего тренда.
При t=1 имеем одно значение 
которое получаем из
уравнения
При t=2 имеем два значения 
, которые получаем из уравнений:
Отсюда 
Аналогично находим все значения:
12,68
Затем были рассчитаны приросты по формуле (7. 27)
и гармонические веса по формуле (7.31)
Гармонические коэффициенты получим по формуле (7.32):
С2 = 0,0156
С3 = 0,0335
С4 = 0,0543
С5 = 0,0793
С6 =0,1106
С7= 0,1522
С8= 0,2147
С9 = 0,3397
Все эти коэффициенты удовлетворяют условиям 7.29, Используя формулу 7.28. находим средний абсолютный
прирост (
= 1,51) и рассчитаем прогнозные значения производства продукции по формуле 7.33.
y10=20,51 y11=22,02
y12= 23,53