Последовательность
В последовательности числа записываются чрез запятую, например: 5, 10, 15, 20,.....
Числа называются членами последовательности. Члены последовательности нумеруются, начиная с 1.
В последовательности 5, 10, 15, 20,..... первый член равен 5, второй член равен 10, третий член равен 15, и т.д.
Каждый член последовательности обозначается буквой с индексом n (например, an), где n – номер числа в последовательности. Например, для последовательности 5, 10, 15, 20,..... a1=5, a2=10, a3=15, и т.д.
Последовательность может быть задана:
1) перечислением членов: 1, 4, 9, 16, 25,.....
2) формулой n-члена (формулой энного члена), например, 
3) рекурентной формулой и значением первого член (или нескольких первых членов), например 
| Как найти член последовательности, заданной формулой n-члена | Пример: в последовательности  найти a7
|
| Вместо n подставляем заданный номер | 
|
Если требуется выписать последовательность, то надо вместо n подставлять по очереди 1, 2, 3 и т.д. и выписывать найденные члены последовательности.
| Как найти член последовательности, заданной рекуррентной формулой | Пример: в последовательности  найти a4
|
| Выписывать последовательно все члены: | |
| 1) выписываем первый член (n=1) | 
|
| 2) выписываем формулу следующего члена, подставляя вместо n его номер | 
|
| 3) в формуле получится предыдущий член последовательности, подставляем его значение |  = 
|
| 4) аналогично пунктам 2) и 3) выписываем следующие члены: |  = 
 = 
|
| Как проверить, является ли заданное число членом последовательности (умный способ; последовательность должна быть задана формулой энного члена) | Пример: является ли число 128 членом последовательности 
|
| 1. Подставляем число вместо an, получаем уравнение относительно n | 
|
| 2. Решаем это уравнение |  ;  ;  ; 
|
| 3. Если n получилось натуральное (целое положительное), то число является членом последовательности, иначе – нет | N получилось не целое, 128 не является членом последовательности 
|
Примечание: Есть другой способ: надо просто выписывать подряд члены последовательности. Если в числах выявится какая-то закономерность, можно будет понять, попадет заданное число в последовательность или нет.
Пример: является ли число 38 членом последовательности 
Выписываем подряд члены последовательности: -7, 12, -17, 22, -27, 32, -37, 42,.... Видно, что дальше числа по модулю будут расти, значит, число 38 не является членом последовательности
Аналогично, выписывая члены последовательности, можно найти первый положительный или отрицательный член.
2 Арифметическая прогрессия – последовательность, в которой каждый следующий член на одно и то же число больше (или меньше) предыдущего. Это число - разность арифметической прогрессии (d).
Например: 7, 6, 5, 4, 3,... – арифметическая прогрессия, разность равна -1
| Как выписать члены арифметической прогрессии | Пример: а1=8, d=4, найти 5 первый членов |
| Пишем значение а1, а потом все время прибавляем d | 8, 12, 16, 20, 24,... |
Примечание 1: арифметическая прогрессия может быть задана обычной формулой энного члена, например, 
, тогда выписываем ее члены как обычную последовательность
Примечание 2: Иногда приходится выписывать прогрессию справа налево, тогда надо отнимать d
Пример: Выписатьсемь членов прогрессии a3=6, d=2.
Отнимаем d и пишем справа налево, получим 2, 4, 6. Потом выписыаем следующие члены: 2, 4, 6, 8, 10,12, 14
| Как определить, является ли последовательность арифметической прогрессией | Пример: является ли арифметической прогрессией последовательность 3, 7, 11, 15,... |
| Находим разности между соседними членами (из следующего вычитаем предыдущий), если эти разности все время одинаковые, то это и есть d, а последовательность – арифметическая прогрессия |     3, 7, 11, 15
4 4 4
|
| Как заполнить пропуски в арифметической прогрессии | Пример 1: в прогрессии 2, 5, х, 11 найти х | Пример 2:найти х, у, zв прогрессии 3, x, y, z, -5 |
| Если пропуск один, берем среднее арифметическое соседних с иксом членов: | Х=(5+11)/2=8, получим 2, 5, 8, 11 | |
| Если пропусков несколько, то: А) нумеруем члены (с единицы): | Члены: 3, x, y, z, -5 Номера: 1, 2, 3, 4, 5 | |
| Б) делим разность известных членов на разность их номеров – это будет d | D=(-5-3)/(5-1)=(-8)/4=-2 | |
| В) и выписываем недостающие члены прогрессии, прибавляя d | 3, 1, -1, -3, -5 |
Формула энного члена арифметической прогрессии: 
Формула суммы первых n членов арифметической прогресии: 
По формуле можно находить нужные члены, не выписывая прогрессию.
Пример: Найти сумме первых 20 членов арифметической прогрессии, где а1=5, d=3.
Находим 
, 
3 Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой каждый следующий член в одно и то же число раз больше (или меньше) предыдущего. Это число - знаменатель геометрической прогрессии (q).
Например: 100, 50, 25, 12,5, 6,25, … - геометрическая прогрессия, знаменатель равен 1/2
| Как выписать члены геометрической прогрессии | Пример: b1=1, q=4, найти 5 первыx членов |
| Пишем значение b1, а потом все время умножаем на q | 1, 4, 16, 64, 256,... |
Примечание 1: геометрическая прогрессия может быть задана обычной формулой энного члена, например, 
, тогда выписываем ее члены как обычную последовательность
Примечание 2: Если приходится выписывать прогрессию справа налево, надо делить на q
Пример: Выписать 5 членов геометрической прогрессии b5=162, q=3
Делим все время на 3 и пишем справа налево: 2, 6, 18,54,162
| Как определить, является ли последовательность геометрической прогрессией | Пример: является ли геометрической прогрессией последовательность 44, 22, 11, 5,... |
| Делим каждый член на предыдущий, если результаты все время одинаковые, то это и есть q, а последовательность – геометрическая прогрессия | 44, 22, 11, 5
0,5 0,5 5/11 – не прогрессия!!!
|
| Как заполнить пропуски в геометрической прогрессии | Пример 1: в прогрессии 2, 10, х, 250 найти х | Пример 2:найти х, у, zв прогрессии 3, x, y, z, 729 |
| Если пропуск один, перемножаем соседние с иксом члены и извлекаем квадратный корень: | Х=  , получим
2, 10, 50, 250
| |
| Если пропусков несколько, то: А) нумеруем члены (с единицы): | Члены: 3, x, y, z, 729 Номера: 1, 2, 3, 4, 5 | |
| Б) делим известные члены и извлекаем корень, степень которого равна разности их номеров – это будет q | Разность номеров 5-1=4,
| |
| В) и выписываем недостающие члены прогрессии, умножая на q | 3, 9, 27, 81, 243 |
Примечание: часто в прогрессии может быть несколько пропусков, но где-то есть два соседних члена. Тогда по этим двум соседним членам можно найти q, а дальше на него умножать или делить, например: x, y, z, 24, 48, z
Есть два члена, по ним находим q=48/24=2, и находим недостающие члены: 3, 6, 12, 24, 48, 96...
Формула энного члена геометрической прогрессии: 
Формулу надо знать, но пользоваться ей неудобно, так как тяжело возводить в большую степень.
Поэтому находить нужный член последовательности и ее сумму проще, выписывая все члены подряд.
Пример: Найти сумму первых семи членов последовательности 
Выписываем члены последовательности: 
и все складываем: 96+48+24+12+6+3+1,5=190,5
Задания - последовательности
В последовательности  найти а4
| |||||
В последовательности  найти a6
| -26 | ||||
Выписать первые 5 членов последователоности 
| 6, 12, 24, 48, 96 | ||||
Выписать первые 5 членов последовательности 
| 1, 3, 7, 15, 31 | ||||
Выписать первые 5 членов последовательности 
| 2, 4, 12, 48, 240 | ||||
Является ли число 25 членом последовательности 
| Да | ||||
Является ли число -16 членом последовательности 
| Нет | ||||
Является ли число -17 членом последовательности 
| Нет | ||||
Найти первый отрицательный член последовательности 
| A6=-3 | ||||
Найти количество положительных членов последовательности 
| |||||