Аксиома 1: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома 2:Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиома 3: Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома 4: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Аксиома 5:На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один
Аксиома 6: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не боле одной прямой, параллельной данной.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка.
Луч - часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от фиксированной точки этой прямой, и самой этой точки, называемой началом луча или начальной точкой полупрямой.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема: Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки.
Угол называется острым, если его градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°.
Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
Угол равный 90°, называется прямым.
Угол, стороны которого дополняют друг друга дол прямой, называется развернутым. Его градусная мера равна 180°.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.
Теорема: Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла.
Теорема: Вертикальные углы равны.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между сторонами угла и делит угол пополам.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны и углы равны.
Признаки равенства треугольников:
1. Если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и 2 прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
2. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1. По катету и гипотенузе;
2. По двум катетам;
3. По катету и острому углу;
4. По гипотенузе и острому углу.
Периметр треугольника - это сумма длин всех сторон.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием.
Свойства р\б треугольника:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. (аналогично: биссектриса и высота)
Признаки р\б треугольника:
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный
2. Если в треугольнике медиана является биссектрисой и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны и углы равны.
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180º.
Средняя линия треугольника- Это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство ср. линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Теорема: В треугольнике: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот: против большего угла лежит большая сторона.
Свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов равна 90 º.
2. Катет, лежащий против угла 30 º, равен половине гипотенузы, и наоборот.
3. Гипотенуза больше любого из катетов
Теорема (неравенство треугольника): Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если не имеют общих точек, т.е. не пересекаются.
Свойства параллельных прямых:
1. Если 2 параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.
2. Если 2 параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180.
3. Если 2 параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.
Признаки параллельных прямых:
1. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны
Теоремы (о трех прямых):
1. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
2. Если прямая пересекает одну их двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Теорема: Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Теорема: Расстояние от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Теорема: все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Четырех угольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершины четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих эти точки отрезков (стороны четырехугольника). При этом:
1. ни какие три данные точки не лежат на одной прямой;
2. соединяющие эти точки отрезки не должны не пересекаться.
Теорема: сумма углов многоугольника равна (n-2) 180°/
Теорема: сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°/
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства:
1) В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
2) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма:
1) Если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм
2) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник – параллелограмм.
3) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. ABCD – трапеция. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.
Отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Теорема: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной.
Свойства р\б трапеции:
1) Диагонали равны
2) Углы при каждом основании равны.
Признаки р\б трапеции:
1) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная
2) Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция равнобедренная.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Особое свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны
Признаки прямоугольника:
1) Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
2) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм-прямоугольник.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Признаки ромба:
1) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.
2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.
Особое свойство ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Особые свойства квадрата:
1. у квадрата все углы прямые;
2. диагонали квадрата равны;
3. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами
Свойства площади:
1. Равные фигуры имеют равные площади;
2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Основные площади фигур:
Площадь квадрата: S = 
Площадь прямоугольника: S = ab.
Площадь параллелограмма S = a h.
Площадь треугольника: 
Площадь трегольника (формула Герона) 
Площадь прямоугольного треугольника (половина произведения катетов): 
Площадь трапеции (полусумма оснований на высоту)
Площадь трапеции (произведение средней линии трапеции на высоту): 
Теорема: Если высоты двух треугольников равны, то площади их относятся как основания.
Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Теорема Фалеса: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Признаки подобия:
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема: (о площадях подобнызх треугольников) Отношение площадей двух подобнызх треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Теоремы (о пропорциональных отрезках):
· Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершин прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой
· Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла α обозначается: tg α.
Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки равно данному значению.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность. ∠ ABC вписанный в окружность.
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.
Хорда- это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
Диаметр- это хорда, проходящая через центр окружности.
Теорема: Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания.
Теорема (Свойство касательных, проведенных из одной точки): Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности (верно и обратное).
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Свойства вписанных углов:
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90°.
Теоремы: Если две хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке К, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.
AK⋅KB=CK⋅KD.
Теорема: Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей.
Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Теорема 2. (обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис.
Она является центром вписанной окружности в треугольнике.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Она является центром описанной окружности в треугольнике.
Теорема: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан (она называется центром тяжести треугольника).
Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины
Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника
Теорема: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Теорема: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
Теорема: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180.
Теорема: Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
S = p r, где p — полупериметр четырехугольника.