Уметь решать задачи по переводу в двоичную и десятичную системы заданные числа




ЗАДАНИЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОМПЕТЕНЦИЙ

Для выполнения работы необходимо определить и записать в таблицу К1 значения переменных а 1а 42 (нули и единицы) исходя из следующих параметров:

F – первая буква фамилии,

N – первая буква имени, впишите свои параметры в табличку:

 

F = N = S =

 

 

S – число букв в фамилии.

Пример. Евгений Онегин: F = О, N = Е, S = 6.

 

Таблица К1

 

а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 А 7 а 8 а 9 а 10 а 11 а 12 а 13 а 14
                           
А 15 а 16 а 17 А 18 а 19 а 20 а 21 А 22 а 23 а 24 а 25 а 26 а 27 а 28
                           
А 29 а 30 а 31 А 32 А 33 а 34 а 35 А 36 а 37 а 38 а 39 А 40 а 41 а 42
                           

____________________

Примечание. Этапы формирования компетенций для студентов, изучивших юниту 1 по дисциплине 4189 "Дискретная математика" (курс 2).

Алгоритм заполнения таблицы К1. Значения а 1а 42 выбираются из внутреннего кольца круговой диаграммы (рисунок 1), разделенной на 28 секторов, которые обозначены буквами от А до Я (во внешнем кольце) и одновременно числами от 1 до 28 (в среднем кольце). Буква Ё считается совпадающей с Е; Й и Ы– совпадающими с И.

 

 

Рисунок 1

 

Выбор значений а 1а 42 производится по следующему правилу:

а 1а 14 – 14 чисел (нулей и единиц) подряд по часовой стрелке, начиная с позиции F;

а 15а 28 – 14 чисел подряд по часовой стрелке, начиная с позиции N;

а 29а 42– 14 чисел подряд против часовой стрелки, начиная с позиции S.

Пример заполнения таблицы К1 для F = О, N = Е, S = 6:

 

а 1 а 2 а 3 а 4 А 5 А 6 А 7 а 8 а 9 а 10 А 11 а 12 а 13 а 14
                           
а 15 а 16 а 17 а 18 а 19 А 20 А 21 а 22 а 23 а 24 А 25 а 26 а 27 а 28
                           
а 29 а 30 а 31 а 32 а 33 А 34 А 35 а 36 а 37 а 38 А 39 а 40 а 41 а 42
                           

 

В каждой из нижеследующих задач (1–10) определенным образом осуществляется выбор переменных 0, 1 из заполненной таблицы К1; из этих цифр составляются многозначные двоичные числа, которые затем используются в качестве параметров (в виде двоичных чисел или переводятся в десятичную систему). Правильное выполнение этих арифметических операций наряду с правильным исполнением инструкции в условии задачи является неотъемлемой частью решения. К задачам 1, 4, 8, 9 приведены примеры решения.

Задание 1 Перевести в десятичную систему четырехзначное двоичное число А2 = а 1 а 2 а 3 а 4 и трехзначное двоичное число В2 = а 5 а 6 а 7. Вычислить число С10 = (A + 5) · (23 – А) + В. Перевести число С10 в двоичную систему. В полученном числе С2 зачеркнуть две последние цифры и перевести результат – двоичное число D2 – в десятичную систему.

Пример. Возьмем данные из примера заполнения таблицы К1.

Задание 2 Двоичные числа a = a 11 a 12, b = a 13 a 14, c = a 15 a 16 a 17 a 18 a 19, d = a 20 a 21(a, b, d – двузначные, c – пятизначное) перевести в десятичную систему. Изобразить на числовой прямой отрезок K = [ a, a+b+ 14] и интервал L = (c, c+d +18), а также множества K ∩ L, K È L, K \ L, L \ K.

Перевести в десятичную систему пятизначные двоичные числа E = a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 и
F = a 27 a 28 a 29 a 30 a 31. Заполнить таблицу К2, ставя на пересечении строки, соответствующей точке EиF, и столбца, соответствующего множеству K, L, K ∩ L, K È L, K \ L, L \ K, знак + или –
в зависимости от того, принадлежит ли точка этому множеству.

 

Таблица К2

 

  K L K ∩ L K È L K \ L L \ K
E            
F            

 

Задание 3 Перевести в десятичную систему двоичные числа А = а 21 а 22 а 23, В = а 24 а 25 а 26,
C = а 27 а 28, D = а 29 а 30 а 31 а 32, E = а 33 а 34 а 35 а 36, F = а 37 а 38 а 39 а 40, K = а 4 а 42. Решить задачу с номером
(K + 1) из четырех нижеследующих (числа A, B, C, D, E, F определяют содержащиеся в них параметры)

1. Из 100 школьников (50 + А) играют в баскетбол, (20 + В) - в волейбол, (35 + С) не играют в эти игры. Сколько человек играют и в баскетбол, и в волейбол? Сколько процентов школьников, играющих в баскетбол, играют в обе игры?

2. Из 100 студентов (53 + А) любят слушать музыку, (23 + В) занимаются спортом, причем
(5 + D) студентов занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекаются ни спортом, ни музыкой? На сколько процентов это число меньше числа любителей музыки?

3. Среди 100 туристов одним английским языком владеют (35 + D), английским и немецким –
Е человек; не владеют ни английским, ни немецким – F туристов. Сколько человек владеют немецким, сколько владеют только немецким? Сколько процентов туристов, владеющих немецким, не владеют английским?

4. Опрос 100 школьников показал, что (50 + D) человек умеют играть в шахматы, Е – и в шахматы, и в шашки, (20 + F) – только в шашки. Сколько школьников не играют ни в одну из этих игр? Сколько человек умеют играть в шашки? Сколько процентов школьников, играющих в шашки, не умеют играть в шахматы?

Задание 4 Перевести в десятичную систему двоичное число d = a 33 a 34 a 35.

Вычислить десятичные числа ti = ai+ 35 + 2 (i = 1, 2,..., 7): t 1 = a 36 + 2, t 2 = a 37 + 2,..., t 7 = a 42 + 2.

Множество М определяется порождающей процедурой:

1) d Î M;

2) если b Î M,то b +M;

3) если b Î M, то3 b Î M.

Вычислить результат применения к исходному значению d последовательности операций (t 1), (t 2), (t 3), (t 4), (t 5), (t 6), (t 7).

Пример. Значения t i могут равняться либо 2, либо 3. Пусть d = 5; ti = 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3. Тогда последовательно получаем: b = 15, 18, 21, 24, 72, 75, 225.

Задание 5 Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа: C = a 35 a 36 a 37, D =
= a 38 a 39 a 40, E = a 41 a 42. Вычислить значения А = С – 6, В = D + 2.

Отрезок [ A, B ] отображается функцией f (x) = (x + E)2 в множество L. Найти множество (промежуток) L. Является ли отображение [ A, B ] L взаимно однозначным?

Задание 6 Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа: C = a 29 a 30 a 31, D =
= a 32 a 33 a 34. Вычислить А = С + 1, В = D – 6.

Определить номер, который получают при нумерации целочисленных точек плоской решетки, изображенной на рисунке 2.2, точки с координатами (А, В), (В, А), (, ).

Задание 7 Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа: b = a 1 a 2 a 3,
X = a 4 a 5 a 6 a 7, Y = a 8 a 9 a 10 a 11, Z = a 12 a 13 a 14 a 15.

Для чисел X, Y, Z вычислить значения суперпозиции с номером b:

0) min (X, max (Y, Z));

1) min (max (X, Y), Z);

2) max (min (X, Y), Z);

3) max (X, min (Y, Z));

4) max (min (X, Z), Y);

5) min (Y, max (X, Z));

6) min (max (Y, Z), X);

7) max (Z, min (X, Y)).

Задание 8 Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа А = a 1 a 2, В = a 3 a 4, C =
= a 5 a 6, D = a 7 a 8, E = a 9 a 10; X = 4 + a 11 a 12 a 13, Y = 5 + a 14 a 15 a 16 , Z = 6 + a 17 a 18a19.

В формуле W = [(X A Y) B (Y C Z)] D (X E Z) заменить двузначные двоичные символы A, B, C, D, E на знаки арифметических операций:

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 · (умножение); 11 / (деление).

Вычислить значение W (X, Y, Z) при заданных значениях X, Y, Z.

Пример. Пусть А = 1 0, В = 0 1, C = 1 1, D = 1 1, E = 0 0; X = 7, Y = 8, Z = 12.

Тогда формула приобретает вид W = [(X · Y) – (Y / Z)] / (X + Z). Подстановка значений X, Y, Z дает W = [(7· 8) – (8 / 12)] / (7 + 12) = (56 – 2/3) / 19 = 166/57.

Задание 9 Перевести в десятичную систему двоичное число R = a 26 a 27 a 28.

Является ли бинарное отношение с номером R между числами, точками, геометрическими фигурами транзитивным, симметричным, антисимметричным?

0. Прямая l 1 пересекается с прямой l 2.

1. Квадрат K 1 на плоскости находится внутри квадрата K 2.

2. Точка А на оси ОХ находится между началом координат и точкой В.

3. Точка земной поверхности А находится на той же высоте над уровнем моря, что и точка В.

4. Целое число А делится без остатка на целое число В.

5. Целое число А имеет общий множитель, не равный 1, с числом В.

6. Точка А на окружности диаметрально противоположна точке В.

7. Дуга окружности между точками А и В составляет 90º.

 

 


Приложение 1

Примеры решения задач

Задача 1. Проверить справедливость равенства А \ (В Ç С) = (А \ В) Ç (А \ С).

Решение. Строим диаграммы Венна отдельно для множества, заданного в левой части проверяемого равенства, и для множества в правой части (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1

 

В левой части пересечение (В Ç С) показано частой косой штриховкой, разность А \ (В Ç С) – редкой штриховкой. В правой части разность (А \ В) показана вертикальной штриховкой, разность (А \ С) – горизонтальной штриховкой, их пересечение (А \ В) Ç (А \ С) – область, заштрихованная дважды (в клеточку). Сравнение обоих рисунков показывает, что левая и правая части равенства – разные. Следовательно, равенство неверно: А \ (В Ç С) ≠ (А \ В) Ç (А \ С).

Из этих же чертежей можно заключить, что множество в левой части равенства совпадает с объединением двух разностей из правой части (А \ В) È (А \ С).

Задача 2. Опрос 100 студентов показал, что 52 пользуются домашним компьютером, 71 – мобильным телефоном, 12 – ни тем, ни другим. Сколько студентов используют оба прибора, только компьютер, только телефон?

Решение. Решение этой задачи связано с формулой числа элементов в объединении двух, вообще говоря, пересекающихся множеств: ½А È В½= ½А½ + ½В½ – ½А Ç В½.

Требуется выразить число элементов пересечения:

½А È В½= ½А½ + ½В½ – ½А Ç В½ Þ ½А Ç В½= ½А½ + ½В½ – ½А È В½.

Строим диаграмму Венна (рисунок 2). Из условия следует, что число элементов объединения равно 100 – 12 = 88. Результаты получаем подстановкой числовых данных в формулу:

½А È В½= 100 – 12 = 88;

½А Ç В½= 52 + 71 – 88 = 35;

½А \ В½= 52 – 35 = 17;

½В \ А½= 71 – 35 = 36.

Оба прибора используют 35 студентов, только компьютер – 17, только телефон – 36.

Задача 3. Что называется декартовым произведением двух множеств? Найти и показать на координатной плоскости произведение А В, где А = [3, 5], В = [1, 4]: А и В – множества либо дейcтвительных чисел R, либо натуральных чисел N: а) А, В Í N; б) A, B Í R; в) A Í N, B Í R;
г) A Í R, B Í N.

 

Рисунок 2

 

Решение. Декартово произведение А ´ В двух множеств – это множество всех пар (x, y), где
x Î A, y Î B.

На рисунке 3, а, б, в, г произведение А ´ В изображается прямоугольником, проекция кото-рого на ось абсцисс – множество А, а проекция на ось ординат – множество В.

а) б) в) г)

 

Рисунок 3

 

Если же А и В – множества целых чисел А = [3, 5], В = (1, 4); А, В Í Z, то произведение
А ´ В – прямоугольник, составленный из целочисленных точек, т.е. точек, у которых обе координаты – целые числа (рисунок 8, а).

Для точек на рисунке 8, в, г одна из координат дискретная, другая – непрерывная.

Задача 4. Устанавливает ли функция y = cos x взаимно однозначное соответствие между отрезками [-π/2, π/2] и [0, 1]?

Решение. Используем графическое представление основной элементарной функции y = cos x (рисунок 4). На участке [–π/2, π/2] функция принимает все значения из отрезка [0, 1]. Но любое значение, кроме у = 1, функция принимает в двух точках: например, cos(–π/2) = cos(π/2) = 0.

 

 

Рисунок 4

Следовательно, взаимно однозначного соответствия на этом множестве нет.

Если же рассмотреть ту же функцию на множестве [0, π/3], то она осуществляет взаимно однозначное соответствие с отрезком [1/2, 1]. Это видно на графике.

Задача 5. Пусть f (X) = 2 X, g (X, Y) = XY. Что выражают суперпозиции h 1(X, Y) = f (g (X, Y)), h 2(X, Y) = g (f (Y), f (X)), h 3(X) = f (g (X, f(X)))?

Решение. h 1(X, Y) = f (g (X, Y)) = f (XY) = 2 X - Y .

h 2(X, Y) = g (f (Y), f (X)) = f (Y) - f (X) = 2 Y - 2 X.

h 3(X) = f (g (X, f (X))) = 2 g (X, f (X)) = 2 X - f (X) = 2 X - .

Задача 6. x – вектор на плоскости; А(x), В(x) – одноместные алгебраические операции:
А(x) = х – b, где b = (2, 3); В(x) = 2 x. Какие векторы представляются суперпозициями этих операций A(A(x)), B(A(B(x))), A(B(A(x))), A(B(A(B(x)))), если х – вектор (5, 3)?

Решение. Применение операции A к вектору z - вычитание вектора (2, 3).

(А(x) = х – b = (5, 3) – (2, 3) = (3, 0).

Применение операции В к вектору z – удвоение. В(х) = 2∙ х = 2 × (5, 3) = (10, 6).

Далее – применение этих операций к результату предыдущей операции. На рисунке 5 – графическое представление суперпозиций.

А(А(x) = (х – b) – b = (3, 0) – (2, 3) = (1, –3).

А(В(x)) = (2 х – b) = (10, 6) – (2, 3) = (8, 3).

В(А(x)) = 2 × (х – b) = 2 × (3, 0) = (6, 0).

В(А(В(x))) = 2 × (2 х – b) = 2 × (8, 3) = (16, 6).

А(В(А(x))) = 2 × (х – b) – b = (6, 0) – (2, 3) = (4, -3).

А(В(А(В(x)))) = 2 × (2 х – b) – b = (16, 6) – (2, 3) = (14, 3).

 

 

Рисунок 5

 

Задача 7. Пусть R – бинарное отношение на множестве М из 12 натуральных чисел
{4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24}: «x R y, если x ¹ y и х делится на у без остатка».

Сколько пар (x, y), элементы которых находятся в отношении x R y?

Является ли отношение x R y отношением эквивалентности?

Решение. Перечислим все такие пары: (8, 4), (10, 5), (12, 4), (12, 6), (15, 5), (16, 4), (16, 8),
(18, 6), (18, 9), (20, 4), (20, 5), (20, 10), (24, 4), (24, 6), (24, 8), (24, 12). Таким образом, их число – 16. Для ответа на вторую часть вопроса нужно проверить выполнение трех свойств, которыми должно обладать отношение эквивалентности. Транзитивность отношения выполняется: если x делится на y и y делится на z, то x делится на z; однако, рефлексивность отношения не выполняется в силу условия (отношение x R y не выполняется для равных x, y); отношение x R y также несимметрично: если x делится на y, то x > y, и поэтому y не делится на x. Следовательно, x R y не есть отношение эквивалентности.

Задача 8. Является ли отношение из предыдущей задачи отношением порядка?

Решение. Уточним результаты решения предыдущей задачи. Рассматриваемое отношение x R y транзитивно, антирефлексивно (не выполняется x R х) и антисимметрично (если x R y, то не выполняется y R x). Поэтому x R y – отношение строгого порядка.

Задача 9. Является ли упорядоченным или частично упорядоченным множество М с отношением x R y на нем из задач 8, 9?

Решение. Очевидно, не все пары элементов множества М сравнимы: например, 15 и 24, 10 и 18 и другие. Поэтому М – частично упорядоченное.

Задача 10. Пусть S(x, y, z) – трехместное отношение «x = y × z » на том же множестве М, что и в задаче 7: {4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24}. Сколько троек (x, y, z), элементы которых находятся в отношении S(x, y, z)?

Решение. Все тройки, удовлетворяющие заданным условиям: (16, 4, 4), (20, 4, 5), (20, 5, 4),
(24, 4, 6), (24, 6, 4); их число – 5. Заметим, что если y ¹ z, то (x, y, z) и (x, z, y) – разные тройки, но поскольку операция умножения коммутативна, то выполняется эквивалентность S(x, y, z) «S(x, z, y), т.е. вместе с каждой тройкой S(x, y, z) условию удовлетворяет и тройка S(x, z, y).

Задача 11. Числа 83, 1906, 44, 584, 4225 упорядочить (а) по величине, (б) по алфавиту как слова в алфавите {0, 1, …, 9}, (в) по сумме цифр.

Решение:

а) 44, 83, 584, 1906, 4225;

б) 1906, 4225, 44, 584, 83;

в) 44, 83, 4225, 1906, 584.

Сумма цифр: 8 11 13 16 17.

 


Приложение 2



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: