,
поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на L и С, получим
где 
- добротность колебательного контура.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 24.7), R = 0.
 |
Если приложенное напряжение изменяется по закону 
то согласно формуле 
в ветви 1 с 2 течет ток
амплитуда которого
Начальная фаза 
этого тока определяется равенством
,
откуда
(24.20)
где т = 1, 2, 3,...
Аналогично ток в ветви 1 L 2
,
амплитуда которого
.
Начальная фаза этого тока
,
откуда
(24.21)
где т = 1, 2, 3,...
Из сравнения выражений (24.20) и (24.21) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1 С 2 и 1 L 2 равна 
, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока в неразветвленной (внешней) цепи
.
Если 
то 
и 
. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности при приближении частоты w к резонансной частоте 
называется резонансом токов.
Уравнение плоской волны
,
где x - смещение колеблющейся точки; х - расстояние точки от источника волн; V - фазовая скорость распространения волны; w - циклическая частота.
Волновое число
,
где l - длина волны, 
.
Уравнение волны
.
Связь между разностью фаз и смещением
.
Примеры решения задач
Задача 1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5 мкф и катушки с индуктивностью 0,2 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебрегаем. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора 90 В. Записать законы изменения заряда, напряжения и тока со временем. Найти максимальные значения заряда, тока и энергии в колебательном контуре.
Дано: Решение
С = 5 мкф = 5 . 
ф
L = 0,2 Гн
В
R = 0
q(t) -? I -? U -?
Решением этого уравнения является уравнение гармонического колебания
Собственная частота
;
с-1;
Кл.
Уравнение будет иметь вид
Кл.
Зная закон изменения заряда со временем, можно найти любую физическую величину, совершающую колебательное движение.
;
;
В.
Сила тока в контуре
;
А;
А.
Полная энергия электромагнитных колебаний контура складывается из энергии электрического и магнитного полей
Дж.
Максимальную силу тока и полную энергию колебаний можно найти по закону сохранения энергии.
Полная энергия колебательного контура – величина постоянная. Когда конденсатор имеет максимальный заряд 
, напряжение на обкладках конденсатора 
, ток в контуре равен нулю, и полная энергия равна энергии электрического поля 
.
Когда конденсатор разряжен, напряжение на обкладках равно нулю, сила тока достигает максимального значения I 0.
Полная энергия равна энергии магнитного поля 
.
Следовательно,
,
откуда находим
; 
А.
Полная энергия
Дж.
Ответ: 
Кл; А; 
Дж.
Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 7 мкф, катушки индуктивностью 0,23 Гн и активным сопротивлением 40 Ом. Максимальный заряд на конденсаторе 
Кл. Написать закон изменения заряда, напряжения и силы тока от времени. Найти период колебаний и логарифмический декремент затухания.
Дано: Решение
Ф
Гн
Ом
Кл
q (t) -? I (t) -? 
U (t) -? T -? l -?
;
с 
.
Период колебаний
с.
откуда
.
Закон изменения заряда со временем
Кл,
тогда
В.
Закон изменения силы тока
;
А.
Логарифмический декремент затухания
.
Ответ: 
с; 
.
Задача 3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивностью 1 мГн и конденсатора емкостью 0,1 мкф действует синусоидальная ЭДС, амплитудное значение которой 30 В. Определить частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс, и напряжения на всех элементах цепи при резонансе.
Дано: Решение
R = 20 Ом
L = 
Гн
Ф
В
Амплитуда тока достигает максимального значения (явление резонанса), если емкостное и индуктивное сопротивления равны, т.е.
или 
,
откуда
с ;
А.
Напряжение на резисторе
В.
Напряжение на катушке
В.
Напряжение на конденсаторе
В.
будут во столько раз больше приложенного напряжения, во сколько раз их сопротивления больше активного сопротивления.
 |
Векторная диаграмма показана на рис. 24.8.
В за счет обмена энергией между катушкой и конденсатором, 
В идет на покрытие потерь на активном сопротивлении.
Ответ: 
В; 
В.
Задача 4. Плоская продольная упругая волна, распространяющаяся вдоль оси х, представлена уравнением 
м. Определить частоту колебаний, скорость распространения волны, длину волны, амплитуду скорости колебаний каждой частицы среды.
Дано: Решение
м
Из сравнения видно, что циклическая частота 
,
откуда
;
Гц.
Волновое число 
откуда 
. Из данного уравнения 
.
Тогда
м.
Для нахождения скорости колебаний частиц найдем производную по времени от смещения:
;
.
Для нахождения скорости распространения волны используем формулу
,
откуда
;
.
Ответ: 
Гц; 
; 
м; .
Задача 5. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 . Период колебаний 1,2 с, амплитуда 2 м. Определить 1) длину волны; 2) Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на 45 м от источника, в момент времени t = 4 c; 3) Разность фаз двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстоянии 
м и 
м.
Дано: Решение
V = 15 
с
м
м
с
м
м
2. Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки можно найти с помощью уравнения волны:
(1)
где y - смещение колеблющейся точки; х - расстояние точки от источника волн; V - скорость распространения волн; 
- циклическая частота.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t равна
так как
то можно записать
;
рад.
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) числовые значения амплитуды и фазы:
м.
Скорость колеблющейся точки
.
Ускорение точки
3. Разность фаз колебаний
.
Ответ: 
м; 
; 
м; 
; 
; 
.
Задача 6. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами по 100 см2 каждая и катушки индуктивностью 10-6 Гн, резонирует на волну длиной 10 м. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
 |
Дано: Решение
см2 = 10-2 м2
Гн
м
откуда
. (1)
Емкость С найдем из формулы Томсона, определяющей период колебаний в контуре:
откуда
. (2)
Период колебаний Т находим из формулы, связывающей длину волны 
и скорость распространения колебаний. Для электромагнитных колебаний скорость равна скорости света, тогда
(3)
где 
.
Подставив выражение (3) в (2), а затем в (1), получим
и 
м.
Ответ: 
м.