Определение минимального радиуса кулачка

 

Для определения минимального радиуса кулачка с плоским толкателем необходимо построить график изменения приведенного ускорения толкателя в зависимости от его перемещения.

Приведенной скоростью _i, м, называется отношение линейной скорости центра ролика (толкателя или колебателя) к угловой скорости кулачка

,

где

- линейная скорость толкателя или центра ролика колебателя, соответствующая его положению;

- угловая скорость кулачка.

Приведенным ускорением , мм, толкателя называется отношение линейного ускорения толкателя к квадрату угловой скорости кулачка

 

,

 

где

- линейное ускорение толкателя, соответствующее его положению.

При построении графиков приведенной скорости или приведенного ускорения , значение перемещения толкателя (колебателя) и соответствующие им значения откладываются на графике в одном стандартном масштабе или . По оси ординат графика откладываются в принятом масштабе перемещения, а по оси абсцисс в этом же масштабе - отрезки приведенных скоростей или ускорений, соответствующие данным перемещениям. Соединив на графике концы приведенных скоростей или ускорений плавной кривой получим график или .

Рекомендуемые масштабные коэффициенты или для построения графиков: 0,001 (1:1), 0,002 (1:2), 0,0025 (1:2,5), 0,0005 (2:1), 0,0004 (2,5:1), 0,00025 (4:1), 0,0002 (5:1).

Значения перемещения толкателя или колебателя и соответствующие им значения приведенных скоростей или ускорений в принятом масштабе или могут быть определены для каждого положения или аналитически или графически.

Перемещение в масштабе или для каждого положения будет следующим:

- для толкателя перемещение , мм, вычисляют по формуле

,

 

- для колебателя перемещение , мм, вычисляют по формуле

 

,

где

, - текущее значение ординат на графиках s-t или Ψ-t, мм;

, - масштабные коэффициенты графиков s-t или Ψ-t;

или - принятый стандартный масштабный коэффициент графика или ;

L -длина колебателя, м.

Отрезки приведенных скоростей или ускорений в принятом масштабе или К_l для каждого положения могут быть определены по формулам:

для толкателя

, ,

 

для колебателя

 

,

 

где

y_vi, y_ai, y_ωi - текущие значения ординат на графиках v-t или v-s,; W-tилиW-Ψ; a-t или a-s, мм;

, , - масштабные коэффициенты графиков v-t или v-s; ω-t или W-Ψ; a-t или a-s соответственно;

- угловая скорость кулачка;

L - длина колебателя, м;

или - принятый стандартный коэффициент графика ли .

Графическое определение значений перемещений приведенных скоростей или ускорений рассмотрено ниже в примерах 1, 2, 3, 4.

По построенному графику приведенной скорости или ускорения в функции

от перемещения толкателя (колебателя) определяют минимальный радиус кулачка. Определение минимальных радиусов кулачков с различными типами толкателя.

 

Построение профиля кулачка

 

После определения минимального радиуса кулачка строится профиль кулачка. Построение профиля с различными типами рассмотрим на примерах.

Пример 1

Выполнить кинематический анализ и динамический синтез центрального кулачкового механизма с роликовым толкателем по следующим данным: закон движения толкателя задан графиком a-t (рисунок 5), перемещение толкателя h =35 мм, рабочий угол кулачка =180, максимальный допустимый угол давления равен = 30⁰. Частота вращения кулачка n_k =120 мин^-1.

Решение

1 Построение кинематических графиков. Построение всех графиков изображено на рисунке 5 и выполнено методами, описанными в варианте 2 настоящего руководства.

2 Определение масштабных коэффициентов графиков.

а) Масштабный коэффициент перемещения , м/мм, вычисляют по формуле

 

,

 

где

h - заданное перемещение толкателя, h =0,035;

- максимальная ордината на графике s-t, =40 мм.

б) Масштабный коэффициент времени , с/мм, вычисляют по формуле

 

,

 

где

- заданный рабочий угол кулачка, =180⁰;

n_k - заданная частота вращения кулачка, n_k =120 мин^-1;

X_t - длина отрезка на оси абсцисс графика s-t (рисунок 5), изображающая время вращения кулачка на рабочий угол, X_t =86 мм.

в) Масштабный коэффициент скорости , с/мм, вычисляют по формуле

,

где

- полюсное расстояние в мм на графике V (рисунок 5), =17 мм.

г) Масштабный коэффициент ускорения , м/с²·мм, вычисляют по формуле

 

.

Принимаем стандартный масштабный коэффициент = 0,001 м/мм. По оси ординат графика в масштабе откладываем величину перемещения толкателя , мм, следующим образом (рисунок 6, а):

.

а)

б)

а – диаграмма приведенных скоростей; б – проектирование профиля кулачка.

Рисунок 6 – Синтез центрального кулачкового механизма с роликовым толкателем.

Разделим величину перемещения толкателя на искомом графике на столько равных частей, на сколько разделена ось абсцисс (ось S) графика v-s (рисунок 5). Если ось S графика v-s или s-t окажется при построении разделенной на неравные части, то и ординату графика следует разделить в пропорциональном отношении, т.е. найти отрезки в масштабе , изображающие перемещение толкателя в каждом положении или аналитически

(точки: 0, 1, 2, 3, 4 на графике (рисунок 6, a) или графически (рисунок 5) – график v-s.

Определяем угловую скорость кулачка , 1/с

 

.

Определяем в каждом положении толкателя в масштабе отрезки приведенной скорости

 

; ; ,

 

где

- ординаты скорости толкателя на графике v-sили v-t(рисунок 5), мм;

- масштабный коэффициент графика v-sили v-t.

Отрезки приведенной скорости толкателя можно определить также графически, для чего находим максимальное значение приведенной скорости

,

где

- максимальная ордината скорости на графике v-s или v-t.

Для остальных положений отрезки приведенной скорости определяются графически, как показано на рисунке 5 (график v-s).

Через начало координат графика v-s под произвольным углом к оси V графика проводим прямую АВ и на этой прямой от начала координат, т.е. от точки О, отложим отрезок максимальной приведенной скорости Оа= =29. Затем на ось V графика v-sпереносим ординату максимальной скорости =0- и ординаты скоростей в конце каждого участка = 0, = 0-1, = = 0-2, =0-3.., = 0.

Соединим конец ординаты максимальной скорости с концом ординаты на максимальной приведенной скорости на линии АВ, т.е. точку соединим с точкой а. Параллельно отрезку а- проводим прямые через точки , , и т.д., которые на прямой АВ отсекут отрезки приведенных скоростей толкателя 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 0-7, 0-8 в принятом масштабе в положениях 0, 1, 2, 3,...8. Теперь отрезки 0-0, 0-1, 0-2,...0-8 из графика v-s переносим на график и откладываем от оси S’ по обе стороны в точках 0,1,2,3,...8 соответственно. Концы этих отрезков (точки: 0, 1’, 2’, 3’,...8’) (рисунок 6) соединяем плавной кривой и получаем график . Проводим под заданным углом давления α =30⁰ к обеим ветвям полученного графика касательные и находим минимальный радиус центрового профиля кулачка . Отрезок О₁0 и будет представлять собой в масштабе минимальный радиус . Определяем истинную величину минимального радиуса

 

= О₁0· =36·0,001=0,036м=36мм.

 

Теперь радиусом в масштабе строим окружность минимального радиуса центрального профиля кулачка (рисунок 6) и от точки О в обращенном движении откладываем рабочий угол =180, дугу которого делим на столько частей (в примере 1 на восемь), на сколько разделена ось t графика s-t (рисунок 5).

Из центра окружности О₁ (рисунок 6) через точки деления 1, 2, 3,..., 8, проводим радиус-векторы, на которых откладываем от окружности минимального радиуса значения перемещения толкателя, найденные в масштабе . Соединив концы этих отрезков плавной кривой, получим центровой профиль кулачка (см. рисунок 6).

Выбираем радиус ролика r = (0,2…0,4) = 0,35 36 = 12,5 мм. Методом обкатки центрового профиля радиусом r строим действительный профиль кулачка и изображаем тип толкателя.

Пример 2

По исходным данным (пример 1) произвести анализ и синтез дезаксиального кулачкового механизма с роликовым толкателем. Если величина дезаксиала е =10 мм.

Решение.

1 Построение графиков описано в варианте 2 и изображено на рисунке 5. Определение масштабных коэффициентов графиков дано в решении примера 1. Рассмотрим особенности определения минимального радиуса и построения профиля кулачка. Построение графика описано в решении примера 1.

2 Определение минимального радиуса кулачка.

Определяем в масштабе величину дезаксиала Х _е, мм, следующим образом:

 

.

От оси os’ графика (рисунок 6, a) откладываем в масштабе величину дезаксиала е = 10 мм в противоположную сторону выбранному направлению угловой скорости кулачка и через конец отрезка е проводим вертикальную линию. Расстояние от точки пересечения вертикали с касательной к графику до начала координат графика ( 0) и будет минимальным радиусом кулачка в выбранном масштабе , т.е. R₀^'=O₁^'0·K_s^'.

3 Построение профиля кулачка.

Из точки ^' (рисунок 7) в масштабе проводим две окружности: окружность минимального радиуса и окружность дезаксиала радиусом е.

 

Рисунок 7 - Проектирование дезаксиального кулачкового механизма с роликовым толкателем.

На дуге окружности минимального радиуса от точки О в обращенном движении откладываем рабочий угол φ_p и делим его на столько равных частей, на сколько разделена ось t графика s-t (рисунок 5). Через точки деления 0, 1, 2, 3..., 8 проводим навстречу выбранному направлению угловой скорости кулачка касательные к окружности дезаксиала. На касательных в каждом положении от окружности минимального радиуса откладываем в масштабе перемещения толкателя , , , , , , и т.д. Соединив концы этих отрезков плавной кривой, получаем центровой профиль кулачка. Выбираем радиус ролика r = (0,2-0,4) и обкаткой во внутрь центрового профиля получаем действительный профиль кулачка. Изображаем тип толкателя (см. рисунок 7).

Пример 3

По исходным данным (пример 1) произвести анализ и синтез кулачкового механизма с плоским толкателем.

Решение.

1 Построение графиков описано в варианте 2 и изображено на рисунке 5. Определение масштабных коэффициентов графиков рассмотрено в решении примера 1.

2 Определение минимального радиуса кулачка.

Выбираем масштабный коэффициент графика приведенного ускорения в функции перемещения ’. По оси ординат искомого графика откладываем в масштабе величину перемещения толкателя =35 мм и делим его на столько частей, на сколько разделена ось s графика o-s на рисунке 5 графически или аналитически.

 

.

 

Определяем в масштабе отрезки приведенных ускорений в каждом положении толкателя или аналитически

,

или графически

 

.

 

Графическое определение приведенных ускорений в масштабе показано на рисунке 8, а, где изображен отдельно график a-sиз рисунка 5. Теперь от оси s’ в каждом положении толкателя откладываем отрезки приведенных ускорений и т.д. и, соединив их концы кривой, получим график a-s’ (рисунок 8, а). К отрицательной части графика под углом

 

а)

 

б)

 

а – диаграмма приведенных ускорений; б – проектирование кулачкового механизма.

Рисунок 8 – Синтез кулачкового механизма с плоским толкателем.

 

45⁰ проводим касательную до пересечения ее с осью o-s’ в точкеО₁. Увеличим отрезок ОО₁ на величину 10 мм в масштабе получим точкуО₂.

Расстояние O₂О будет представлять в масштабе величину минимального радиуса кулачка, т.е. = O₂О . Конструктивный радиус кулачка принимаем равным АО, т.е. =АО , что допускается.

Примечание - Если касательная к графику пересечет ось выше начала координат графика ’, то величину минимального радиуса кулачка принимают не менее величины перемещения толкателя, т.е. h. На окружности минимального радиуса в обращенном движении (рисунок 8, б) откладываем рабочий угол и делим его на равные части, как и ось t графика s-t(рисунок 5). Через точки 0, 1, 2.., 8 из центра O₁ проводим лучи, на которых от окружности радиуса откладываем перемещения , , и т.д., соответствующие данным положения толкателя (определены графически, рисунок 5) получим точки C₀, С₁, C₂,…, C₈. Через эти точки проводим перпендикуляры в лучам, т.е. положение тарелки толкателя в обращенном движении. Действительным профилем будет огибающая всех положений тарелки, т.е. необходимо построить плавную кривую, касающуюся перпендикуляров в каждом положении.

 

Пример 4

Произвести анализ и синтез кулачкового механизма с роликовым колебателем.

- Закон движения толкателя задан графиком ψ-t (рисунок 4).

- Угол размаха колебателя =20⁰.

- Длина колебателя L =75 мм.

- Рабочий угол кулачка =240⁰.

- Частота вращения кулачка n_к =125 мин^-1.

- Угол давления α =40⁰.

Решение.

1 Построение графиков приведено в варианте 1.

2 Определение масштабных коэффициентов.

а) Масштабный коэффициент углового перемещения колебателя , 1/мм, будет равен

 

,

где

у_ψ - ордината на графике -t, у_ψ =30 мм.

б) Масштабный коэффициент времени , c/мм, будет равен

 

,

где

- длина абсциссы, соответствующая времени поворота кулачка на рабочий угол, =60 мм.

в) Масштабный коэффициент угловой скорости колебателя , 1/c×мм, будет равен

 

,

где

- полюсное расстояние на графике , = 15 мм.

г) Масштабный коэффициент углового ускорения колебателя , 1/c²×мм, будет

 

.

3 Построение графика и определение минимального радиуса.

Принимаем масштабный коэффициент построения К_l =0,001 м/мм. Откладываем из точки А (рисунок 9, а) длину колебателя АВ в масштабе К_l и строим угол размаха колебателя β. Определяем линейное перемещение конца колебателя (длину дуги, , мм) в этом же масштабе

 

.

Разбиваем ось t графика на равные части и графическим построением на графике (см. рисунок 4) определяем линейные перемещения конца колебателя соответствующие положением 0, 1, 2, 3..., 6. Перемещение конца колебателя 0-1, 1-2, 2-3 и т.д. переносим на дугу центрального угла β размаха колебателя, и через эти точки деления из центра А проводим лучи А-0, А-1, А-2,... и т.д. (рисунок 9, а).

Определяем приведенные скорости конца колебателя, соответствующие перемещениям колебателя в положениях 0, 1, 2, 3…, 6 аналитически

 

 

или графическим построением, как показано на графике (рисунок 4), для этого найдем в масштабе К_l максимальную приведенную скорость конца колебателя

,

 

где

ω_к - угловая скорость кулачка

 

.

На лучах А-1, А-2 и т.д. графика (рисунок 9, а) откладываем от дуги приведенные скорости и т.д., и соединив концы их плавной кривой, получим график .

На концах приведенных скоростей во всех положениях колебателя строим угол давления α =40⁰ (см. рисунок 9, а) и определяем в масштабе К_l минимальный радиус кулачка =О₁ 0·К_l=O₁0·K_l.

При построении графика на участке, где вращение колебателя совпадает с вращением кулачка, положительные значения приведенных скоростей откладываются по колебателю к центру его вращения, а при разных направлениях угловых скоростей кулачка и колебателя на продолжении колебателя.

4 Построение профиля кулачка.

В масштабе К_e из центра О₁ строим две окружности: минимального радиуса и радиусом О₁А (расстояние между осями вращения кулачка и колебателя определяется из графика). От точки А на окружности радиуса О₁А в противоположную сторону угловой скорости кулачка откладываем рабочий угол кулачка и делим его на несколько равных частей А₀, А₁, А₂ и т.д., как разделен график . Из точки А (рисунок 9, б) радиусом, равным длине колебателя в масштабе К_l от окружности минимального радиуса строим дугу угла размаха колебателя, перенося разметку положений конца колебателя 0, 1, 2, 3 и т.д. из (рисунок 9, а).

Из центра О₁ через точки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 на дуге колебателя радиусами 0-1, 0-2 проводим концентрические окружности, а из точек А₀, А₁, А₂ и т.д. на этих окружностях длиной колебателя в масштабе делаем засечки и получаем точки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Соединив точки плавной кривой, получаем центровой профиль кулачка. Выбрав радиус ролика, и сделав обкатку во внутрь, получим действительный профиль кулачка.

 

а)

б)

 

а – диаграмма приведенных скоростей; б – проектирование кулачкового механизма.

Рисунок 9 – Синтез кулачкового механизма с роликовым колебателем.

 

Примечание - При построении профилей кулачков масштабный коэффициент построения можно принимать любой другой отличный от К_s^', но стандартный, однако в этом случае при построении необходимо будет также определить и перемещение толкателя (колебателя) в новом принятом масштабе построения.