СПИНОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ФЕРРОМАГНИТНОМ СЛОЕ

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР

 

Т. XXXVI, № 7

СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ

Р. Г. ХЛЕБОПРОС и Л. В. МИХАЙЛОВСКАЯ

СПИНОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ФЕРРОМАГНИТНОМ СЛОЕ

Возросшие требования к интерпретации очектра спин-волнового резо­нанса тонких магнитных пленок из-за увеличения диапазона частот и чув­ствительности эксперимента обусловили появление в последнее время зна­чительного количества теоретических работ, посвященных исследованию энергетического спектра ферродиэлектрического слоя. При этом обнару­жен целый ряд особенностей спектра спиновых колебаний; среди них наи­более интересны поверхностные магнито статические волны [1—3] и по­верхностные волны, обусловленные закреплением?линов на границе тон­кого слоя [4—7].

В настоящей работе рассмотрим в феноменологической постановка •спектр магнитных колебаний изотропного однородно-намагниченного под произвольным углом ферромагнитного слоя*. Равновесное положение на­магниченности М₀ (рис. 1) определяется уравнением магнитостатики:

coo sin (0о — 9) = 0,5&>м sin 26₀, - (1)

где (во = у#о, ¹⁽°дг = 4яуЛ/₀, постоянное магнитное поле Н₀ направлено под углом 9 к нормали (оси z). Малые колебания намагниченности относи­тельно равновесного положения удобно представить в компонентах т_у и т_в = то_ж/соз6о = — m_z / sin 6₀. В представлении плоских волн m, h, e ~ ~ exp [i(kr — a>t) ] из уравнений Ландау — Лифшица и Максвелла можно получить в пренебрежении эффектами релаксации соотношение между.со и k в виде

Здесь

——, G = — - cos (0₀ — Э) — cos²

обменный параметр

т] = А I 2пМ₀², (А — постоянная обменного взаимодействия). &² = к¹ -f- &Д х = у&_я² -f- k_y², ki² = kf,² -j- /Cy², k_e = k_K cos 0₀ — k_z sin 6₀, величина волново-

го вектора электромагнитной волны ft_e = -^-Ve, e — диэлектрическая по^

^стоянная, с — скорость света.

Это дисперсионное соотношение представляет при заданных частоте Q, поле ^о, угле 6 и неоднородности в плоскости пленки % уравнение шестой -степени относительно k_z. Колебания магнитного момента при этом являют­ся результатом сложения шести плоских волн:

] \ А„ exp(ik_znz).

* На Всесоюзной конференции по магнетизму (Красноярс-к, 1971 г.) нам стало известно, что подобная задача независимо решалась Б. Н. Филипповым. Статья с близкими к пашей работе результатами опубликована в журнале «Физика метал­лов и металловедение». 32, 911 (1971).

колебания в ферромагнитном слое

 

Учет граничных условий для электромагнитного доля и для магнитного мо­мента позволяет определить допустимые собственные значения /ё„, ш и с точностью до постоянного множителя соответствующие им амплитуды А,,.

Если выполняется равенство k,sin2fl« = 0, то уравнение (2) перехо­дит в бикубическое, которое мы и будем рассматривать в дальнейшем*.

На рис. 2 изображена симметричная по k, дисперсионная кривая (2) при е = 0 и х = k_t/. Собственные колебания при этом представляют сум­му трех стоячих волн, две из kotopbix правополяризованны, а одна — ле-вополяризованна п является всегда поверхностной, так как имеет k,^s < 0.

Рис. L Равновесное положение намагниченности М.

Рис. 2. Дисперсионное соотношение (2) при 6 =

х^г = 0, 2— V'- = 2.°10-"!,? — Г]х² = 2.10-', 4-их² = 2). Координаты пересечения с осью Q = 0: ' — в, 2r|*²₂., ==^(C + sin во) ±

_ ± У(С + I)2 -f- 4т)^ж2. Здесь и в дальнейшем ин­дексы «+» и «—» означают соответственно пра­во- и левополяризованные колебания

r,kl-2,0

•0,2 yjrf!J/!JI/ 0,1 /jit2 Рис. 2

7*1 -

я/2,

Обращает на себя внимание наличие полосы частот, где правогюдяризован-ные колебания существуют с комплексным значением k_z. На эту особен­ность спектра в частном случае перпендикулярно намагниченной пленки со свободными спинами на границах впервые обратили внимание авто­ры [9].

Влияние условия, в которых находятся слшиы на поверхности слоя, учтем, пренебрегая электромагнитным запаздыванием в двух предельных случаях: \} а = 0, х = 0, в_э =t= 0; 2) е -= О, и =И= О, О» = О.

1. В случае однородных в плоскости колебаний (х = 0) решения диг,-

* Асимметрия дисперсионной кривой, обусловленная наличием в (2) членов с ае-четными степенями fen существенна в магнитостатической области, проявляется

дри о <С 8й *С —— ^[1 исследовалась, в [3\. •...

Р. Г. Хлебопрос и Л. В. Михайловская

 

персионного уравнения (2) записываются так:

(3)

 

ГДе

 

Воспользуемся следующими обменными граничными условиями для намаг­ниченной под произвольным углом пленки, полученными в [10]:

dm* Bi

(4)

dm_y р₂ —— -_-m_y = 0 dz_n d

при 2 = ±d. Здесь б! = p cos 28о, р₂ = р cos² Go, 3 = К.4/А, K_s — постоян­ная поверхностной анизотропии, 2d — толщина слоя. В этой записи, если К_г > 0, то легкая ось поверхностной анизотропии лежит в плоскости слоя. При другом знаке — ортогонально плоскости.

Рис. 3. Графическое решение -уравнений (3) и (5) в областях: а — G >
> ti, б — G < ti. Кривые А соответствуют уравнению (5). кривые В —
уравнению (3), индексы 0. 1, 2, 3. со соответствуют частотам Q -> О, qi =
" ' " - -• ~. ~ -. - -^ анизотропия

Нетрудно убедиться, что задача содержит только два типа решений — симметричные и антисимметричные относительно замены z на —z. Под­ставляя симметричные решения

т_в = exp (~i(ut) (Aicosktiz -j-^acos k_ziz], m_y = exp (— mt) (AiaicoskziZ-t-AzazCOBkrtZ)

в (4), получим следующее уравнение для нахождения собственных зна­чений kti и k₂z *:

«1 (Pi cos «i + mi sin mi) (p_acos ii_z + Ma sin K₂) —

(5)

— a₂ (p_z cos в, + b! sin в,) (p, cos B₂ + и* sin в,) = О. Здесь

Здесь и в дальнейшем длн антисимметричных решений соответствующие вы­ражения получаются заменой sin и на —cos и и cos и на sin и.

ебания в ферромпзпитном слое

Форма собственных колебаний магнитного момента определяется отноше­нием амплитуд:

,,

 

Ui Sill «i + pi COS И-i

 

при

Амплитуда магнитостатической ветви с волновым вектором этом равна нулю.

В предельном случае р2 — Pi-^О правополяризованные колебания с волновым вектором kzi и левололяризованные, которым в дисперсионном уравнении соответствует решение k_zZ² < 0, становятся независимыми.

Из исследования выражения (5) видно, что граничные условия запре-

щают решения в области А*Д < 0, k^ < 0, если р\ < 0, р₂ < 0. Выра­жения (3) для данной частоты Q можно рассматривать как параметриче-

ское задание дисперсионной кривой на плоскости (&_г1, А;_га). В качестве параметра можно взять эффективное поле G, В области k* < 0 делается замена: &_г = г А;/. Тогда собственные значения k_zi и /с_;2 находятся пак пе­ресечения дисперсионной кривой (3) с кривой (5) на плоскости (йя, &*/), если G <С 7\ и на плоскости {^г!⁷, Агг/), если G > tl

На рис. 3 показано графическое решение уравнений (3) и (5) для угла 9₀ <.я/4. Видно, что в зависимости от соотношения между Q, 6₀ л {} существует одно или два пере­сечения дисперсионной кривой (3) с кривой (5), т. е. сущест­вует одно или два собственных чисто гиперболических колеба­ний в системе. Собственные зна­чения и/, и₂', лежащие в обла­сти /, удовлетворяют соотноше­ниям:

pi < р!_вф< и/Шв/ < р₂, г T_t + T_z

Рис. 4. Дисперсионные кривые (10) для раз­личных значений р: 1 ~ р = 0; 2~ о = = 4-10-2;,? —р = 4-10-'; ' 4—р=1; 5 — р = 2

Из выражения (6) легко убе­диться, что при этом \Ai\ >>!>-|Л₂|, т. е. ведущей в колеба­нии будет правополяризованная волна. Одновременно с этим соб­ственным колебанием для частот Q < Q_1[p (Q_KP определяется из уравнения |/7\ + Та. 11 ~= ву, где в₂₀ЧЬ ц₂₀'= р,р_а / р, _вф) существует собственное ко­лебание (В1,в₃), лежащее в области // и удовлетворяющее соотноше­ниям:

•где р_г=ф(У, + Т_г) = r^z + J'jp,. В этом случае при достаточно низких частотах или при p_z-p,^0 главной в собственном колебании становит­ся левополяризованная волна, т. е. |4₂|>|Л,|.

Спектр собственных колебаний с &„² > 0 может проявиться ник видно из рис. d, 6, начиная с пекоторой частоты, когда радиус дисперсионной окружности Т/(Т, + T₂)/t> в₂„'. Собственными значениями являются не-

Р. Г. Хлебопрос и Л. В. Михайловская

 

ресечения (3) с (5), попадающие в сектор, ограниченный углом ф = arctg ут\ / T_z. Колебания намагниченности вокруг положения равно­весия.представляют теперь суперпозицию тригонометрических правополя-ризовапных волп с поверхностными левополяризоваппыми. В области ма­лых Q, когда У(/1 + tz} I t^Uzo', могут существовать решения, в которых ведущей является гиперболическая волна (|Л₂| > |.4i|). Число собствен­ных колебаний по мере увеличения частоты возрастает.

Подобное рассмотрение может быть проведено для анизотропии дру­гого знака и распространено на углы я / 4 ^ 6 и ^ л; / 2. Аналогичная, но более сложная для оценок ситуация имеет место в спектре антисимметрич­ных колебаний.

2. Рассмотрим теперь влияние состояния поверхностных спинов на спектр неоднородных в плоскости (к =^ 0) колебаний намагниченности в частном случае 6₀ = 0 и (3i = 02 = р.

На рис. 4 изображено дисперсионное соотношение G = G(k^?} при за­данных Ц и к. Характер дисперсионных кривых определяется величиной параметра р ~ цк² / Q². Если р < 1, то в зависимости ог значения G имеем три вида решений для &_n² — А„²(С, Й,х^в), (га = 1,2,3). Если G^Gi, то &Д k_z^z > 0, k_s^z <С 0. В области gi < G <i G_z решения для &Д k₂² — ком­плексно-сопряженные, &з² < 0. При G ^ G₂ вес решения ft_n² <C 0. Пере­ходные значения полей G_tJ& определяются выражениями

(7)

 

(8)

Соответстиующие им значения квадратов волновых векторов равны

/ 1 п/~1 /1~~\

1 + — p=F I/ —р(1 +.—р)

С увеличением р все болео расширяется область значений G, в которой ki² и k₂² — комплексно-сопряженные. Если р ^ 1, то она простирается от О до G₂, определяемого формулой (7). В области G > G₂ результирующее колебание, как и прежде, представляет суперпозицию трех поверхност­ных (гиперболических) волн. Ситуация р ~ 1 может возникнуть в радио­частотном диапазоне, если неоднородности в плоскости пленки определяют­ся ее магнитной подструктурой.

Интересующее нас распределение памарштчезкости по толщине слоя определяется проекцией волнового век-тора* Jc на ось z: k_in = ^k,,^z — -/с (п — 1, 2, 3). Видно, что по мере увеличения к уменьшается область три­гонометрических решений (fe_z² > 0) 'и, еоли выполняется неравенство т]к^г(1 4~ "П^²) > ^², то в спектре полностью отсутствуют тригонометри­ческие решения.

Как и прежде, решения задачи, разбиваются на "симметричные и анти­симметричные..Подставляя в обиенпа'ей'Траничноез. условие (4) решения симметричного класса

-А.п cos kzn

= exp[i(k,x + k_yy-№

/ —(oi)lV ^^„cos

г ферро.

 

 

и выполняя требования непрерывности тангенциальной составляющей

4nk(m -k)

магнитного поля U = — ———-———— и пормальноп составляющей маг-

к

нитяой индукции 1) = h -f- 4лш на границах слоя г = ±й, получим урав­нение

которое совместно с дисперсионным соотношением

* = (G

(10)

 

определяет спектр собственных колебаний намагниченности. В (9) введе­ны следующие обозначения:

v cos и — и cos и

 

(для простоты взято А'* = х; если н-„² <С 0, то делается замена: и_п = т/). Отношения между амплитудами стоячих волн для найденных собствен­ных колебаний можно записать как

(И)

 

Проанализируем предельные случаи. Пусть £^0. Тогда из (10) имеем: G

k\^z ->- -}~og_/ h_z" = к² —^r_z—~^ i k₃^z~^- — oo, а уравнение (9) переходит в

l£ — Li'

уравнение V_z = 0. Таким образом, в нулевом по 'С, приближении (£—>-0) уравнения (9) и (10) определяют спектр уокеровских магнитостатических колебаний ферр о диэлектрического слоя.

При у. —>• 0 решениями уравнения (10) являются: " '

Q-G

Q + G

= 0,

Ц Т]

а (9) принимает вид: UiU$ = 0. Амплитуда А_г = 0, ветви право- и лево-поляризованных волн оказываются независимыми.

Рассмотрим теперь случай р<С1. Тогда решения уравнения (10) мож­но записать как:

(т|х^г)(Й-С) 1

A.»^h-

2t] L 2

1 (Й-G)²

(t)x!)2G(5Q + G)

1 (Q-G)'r _tpr

~>i rf L (q+

В этом приближении (7) и (8) упрощаются:

Gi,₂ ^ £3 1⁼РУ2р + -—р

/'. Г. Хлебопро

Л. В. Михайловская

 

 

Подставляя эти выражения в (9) и (11), можно убедиться, что для соб­ственных решений, попадающих в область полей G<^Gi или G^>G_E, ве­дущей является одна из волн ai, A_z или А₃. Так, например, в нулевом при­ближении (р —>- 0) собственные значения обменного киттелевского спектра и.1 определялись из уравнения

«1 lgui + Р = 0 (12)

н в двух предельных случаях |3 —»- 0 н | ния

оо имели соответственно реше-

В данной ситуации при р*^1 (v^l), как и следовало ожидать, мы имеем в этих предельных случаях малые изменения для собственных зна­чений Ад. Для р -*• 0 вместо уравнения (12) получаем уравнение:

«I tg ifi — -

 

Если ||3| л# у-^ 1, то имеем '"_ ' -••"-^:.¹ - • ". •

[

у(6 + v) I.,-
1 ———^ • • —• I = 0.

Во всех этих трех случаях, как видно из (И), имеем: \А_Г\ ~> \A_Z\ > М₈|. Для гиперболических колебаний, которые в нулевом приближении су­ществовали как независимые k_t\ и k_z3 и области G > Q и одно A_i3 в обла­сти G -< Q н определялись из уравнения M_lp3th u\,₃ — р, теперь имеем сме­шанные колебания, которые удовлетворяют уравнениям

^-^й

В результирующем колебании ведущую роль играет амплитуда поверхно­стной волны Ai или А₃.

В тонком слое при одновременном учете обменных и диполь-диполь-ных членов в уравнении движения проявляется при некоторых условиях модифицированный магнитостатичеекий спектр. Он теперь определяется уравнением

1 + 2^-

щ tg tit \

i + uagai/'--*-.¹.'----».

V / 2£. Отношение алгплитуд

^ii л, I

Л₂ COSWi P + WitgB,

COS И-2

P+D

Отсюда видно, что когда

•^ 1, то ведущей в колебании является

ые колебания в ферромагнитном слое

магнитостатическая ветвь \\ д | J' При обратном неравенстве у<^ р,

о <s; 1 ведущими в колебании всегда является обменная волна (j^^/^ij <C < 1).

Существует область полей Gi^G^ G₂, в основном включающая в себя область комплексных решений для и± и и_г. в которой собственные значе­ния \и\\ £z \u₂\ и поптому соответствующие им волны представлены в ре-

зультирующем колебании равноправными амплитудами \А\\ ~ \A-_t\ (\А₃\ <^ mij)- Уравнение (9) в области комплексных значений Ui и и_г принимает вид

= А

=-asin2a-&sh26, X"(cos 2a + ch 26) =

В приближении р ^ 1 эти колебания являются промежуточными по «длине волны» между магнитостатическими и обменными.

3. Как уже, отмечалось, влияние эффектов электромагнитного запаз­дывания может оказаться существенным только в магнитостатической длинноволновой области спектра. В пренебрежении обменными полями для ортогонально намагниченного слоя дисперсионное соотношение приобре­тает вид:

На рис. 5 представлено графическое решение этого уравнения нри за­данной частоте Q и различных к². Видно, что если % < &„, то при любом G решения представляют смешанные колебания, состоящие из право- и ле-вополяризованных стоячих волн. Они становятся независимыми, когда и = 0. Если и > k_e, то решения представляют сумму двух стоячих волн

Р, Г. Хлебопрос и Л. В. Михайлоеск.

правой поляризации; объемной магнитостатической и поверхностной элек­тромагнитной, Кроме того, в спектре появляется область значений G < <С gi, в которой решения для k\ ₂, а значит и для kt _iiZ являются ком­плексно-сопряженными. Поле gi определяется выражением

2 = 4Й2«-

 

Соответствующие нения

находятся из урав-

Собственные значения k_%i и k_:2 должны удовлетворять уравнению, по­лученному при наложении обычных граничных условий на магнитные и электрические поля. В предельном случае &i -^ е (е, 8i — диэлектрические-постоянные внутри и снаружи слоя) это уравнение имеет вид (для сим­метричных по z решений):

где

<l>i [ (к² — k_e²) cos и, — х&л sin it* ] cos u₂ — Фг[ (^² — k_c^&) cos u₂ — xkzs sin u_z} cos Ui = 0,

Отношение амплитуд равно

А-. cos hi G (k_z² — k,,²) — k_f^z

Наибольшее влияние электромагнитное запаздывание оказывает на магнигосгатический спектр, когда неоднородность в плоскости пленки х того же порядка, что и величина волнолого вектора электромагнитной вол­ны k_e.

Институт физики

им. Л. В. Киренского "'

Сибирского отделения

Академии наук СССР

Литература

Damon R. W., Fshbach J. R, J. Phys. Cbem. Solids, 19, 308 (1961). Б у л а е в с к и и Л. Н., Физ. твердого тела, 12, 799 (1970).

Михайловская Л. В., Хлебопрос Р. Г., Физ. твердого тела, 13, 2786 (1971).

Puszkarski Н., Acta phys. polon., A38. 899 (1970). С о к о л о в В. М., Т а в г е р Б. А., Физ. твердого тела, 10, 1791 (1968). Хлебопрос Р. Г., Михайловская Л. В.. Физ. твердого тела 12 2477 (1970) Филиппов Б. Н., Физ. твердого тела, 9, 1048 (1967).

Михайловская Л. В., X л е б о л р о с Р. Г., Физ. твердого тела 11, 2854 (1969) De Wames R. Е., Wolfram Т., J. Appl. Phys. Letters, 15, 269 (1969) Сух у Р., Магнитные тонкие пленки, «Мир», М., 1967, стр. 310