Методические указания к выполнению задания

Лабораторная работа N 4

Численные методы решения систем

Линейных уравнений

 

Порядок выполнения работы:

1 Изучить материалы по лабораторной работе. Повторить соответствующий материал лекций;

2 Выполнить индивидуальное задание;

3 Представить отчет, который включает описание задачи, методики ее решения в электронных таблицах Excel и системе Matlab и анализ результатов;

4 Защитить выполненную работу.

 

 

К решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛУ) сводятся многие задачи анализа и синтеза физических систем различной природы: механических, гидравлических, электрических и т. п.

В общем виде система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается так:

 

………………………………..

 

где – неизвестные системы;

– коэффициенты при неизвестных системах;

– свободные члены системы или в векторно-матричной

форме

где

 

есть соответственно матрица коэффициентов, вектор-столбец свободных членов и вектор-столбец неизвестных.

Решением СЛУ называется любая совокупность чисел , которая, будучи подставленной на место неизвестной в уравнении данной системы, обращает все эти уравнения в тождества.

Применяемые в практике численные методы решения СЛУ делятся на две группы: точные (прямые) и приближенные (итерационные). Точными называются методы, которые в предположении, что вычисления ведутся без округления, позволяют получить точное решение за конечное число математических операций. Приближенные методы даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, дают решение системы лишь с заданной точностью.

Прямые методы используются при решении на ЭВМ систем небольшого порядка . Итерационные методы целесообразно применять для систем высокого порядка .

На практике наиболее широко из прямых методов для решения СЛУ используется метод Гаусса с выбором главного элемента. Суть метода состоит в приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнения системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n -го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным , т. е. матрица системы будет приведена к треугольному виду. Обратным ходом метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем и т. д. Последним найдём из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы:

 

Для исключения из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на . Затем, умножив первое уравнение на и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него . Получим эквивалентную систему уравнений вида:

 

;

 

Теперь из третьего уравнения полученной системы нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на и прибавим результат к третьему. Получим:

 

,

 

Т. о. матрица СЛУ имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты , и т. д. Поэтому они должны быть отличными от нуля: в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы, т. е. провести выбор главного элемента. Суть этого выбора заключается в том, что из столбца коэффициентов уравнений системы, в которых не проведено очередное исключение неизвестных выбирают наибольший по модулю и перестанавливают эти уравнения так, чтобы этот коэффициент оказался на месте элемента главной диагонали матрицы системы. Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы:

 

.

 

Используя это значение, можно найти из второго уравнения, а затем из первого:

 

 

Аналогично строится вычислительный алгоритм для СЛУ с произвольным числом уравнений.

Метод прогонки – является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – системы уравнений с трех диагональной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении дифференциальных уравнений на краевую задачу.

Одним из самых распространённых итерационных методов решения СЛУ, отличающийся простотой и лёгкостью программирования, является метод Гаусса-Зейделя. Проиллюстрируем этот метод на примере решения той же СЛУ, что и метод Гаусса. Предположим, что диагональные элементы отличные от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные и соответственно из первого, второго и третьего уравнения системы:

 

 

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: . Подставляя эти значения в правую часть предыдущих выражений, получаем новое (первое) приближение для :

 

 

Используя это значение для и приближение для , находим новое приближение для :

 

 

И, наконец, используя вычисленные значения , , находим первое приближение для :

 

 

Далее итерационный процесс продолжается по рекуррентным формулам:

 

 

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения не станут близкими с заданной погрешностью к значениям .

Задание

 

Разработать ММ, блок-схему алгоритма и программу на алгоритмическом языке Pascal или Basic, в системе Matlab и в электронных таблицах для расчёта токов и напряжения в ветвях линейной электрической цепи постоянного тока, рассчитать мощность, выделяемую на резисторах. Исходные данные выбираются по заданному варианту (таблица 11).

 

Таблица 11 – Пример задания

№ ветви	Начало – конец	Сопротивления, Ом	Источники
эдс, В	тока, А
	2–4 4–3 3-1 1-5 5-6 6-2 3-2 4-5

Определить напряжение .

 

Методические указания к выполнению задания

Строим расчётную электрическую схему, которая, как очевидно, имеет 6 узлов, 8 ветвей (рисунок 8), при этом источники ЭДС и тока направляются от начала к концу ветвей и, кроме того, источники ЭДС включаются последовательно с сопротивлениями этих ветвей, а источники тока параллельно этим ветвям.

На листе бумаги отмечаем шесть узлов и между ними рисуем электрические элементы согласно таблице 11. в результате получим электрическую схему, приведенную на рисунке 8.

Очевидно, что предварительный вид электрической схемы недостаточно наглядный. Для более наглядного ее представления необходимо некоторые узлы поменять местами. В данном случае меняются местами узлы 1 и 6, а также 4 и 5. окончательный вид схемы представлен на рисунке 9. во всех ветвях схемы наметим произвольно направления токов.

R1=650 Ом R2=510 Ом R3=130 Ом R4=340 Ом R5=420 Ом R6=240 Ом R7=430 Ом R8=310 Ом E1=100 B E2=300 B Iт=2 А Iт=4 А

Рисунок 8 – Расчетная электрическая схема

 

Изобразим расчетную схему в более наглядном для расчета виде (рисунок 9) и наметим произвольно направление токов во всех ветвях.

 

Рисунок 9 – Расчетная электрическая схема

 

Расчёт цепи проводим методом контурных токов. Составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов:

 

 

Перегруппировав слагаемые в этих уравнениях, и сделав соответствующие преобразования, получим уравнения для определения контурных токов:

Подставляя заданные числовые значения источников ЭДС, тока и сопротивления, получим (не обязательно – результат будет в Excel):

Решив полученную систему линейных уравнений, найдём значения контурных токов , , . Зная их, находим значения токов в ветвях по следующим зависимостям:

Вычислив токи, находим значения искомого напряжения :

Далее определим суммарную мощность, выделяемую на резисторах:

Пример выполнения задания в пакете Excel

Таблица 12 – Исходные данные

	А	B	C	D	E	F	G	H	I
	R1=							I1=
	R2=							I2=
	R3=							I3=
	R4=							I4=
	R5=							I5=
	R6=							I6=
	R7=							I7=
	R8=							I8=
	E1=							U64=
	E2=							Psum=
	It1=
	It2=

 

 

C1) =B5+B6+B1+B8 D1) =-B1 E1) =-B8 C2) =-B1 D2) =B7+B2+B1 E2) =-B2

C3) =-B8 D3) =-B2 E3) =B3+B4+B8+B2 F1) =B12*B6 F2) =-B9 F3) =B9+B10+B11*B4

Выделим блок ячеек C4–E6 под обратную матрицу, введем МОБР(C1:E3) и нажмем Shift+Ctrl+Enter. Затем выделим блок ячеек G1..G3 под значения контурных токов, введем МУМНОЖ (С4: E6; F1: F3) и нажмем Shift+Ctrl+Enter.

I1) =G1-G2 I2) =G2-G3 I3) =G3 I4) =G3-B11 I5) =G1 I6) =G1-B12 I7) =G2 I8) =G1-G3 I9) =-I5*B5-I8*B8

I10) =I1^2*B1+I2^2*B2+I3^2*B3+I4^2*B4+I5^2*B5+I6^2*B6+I7^2*B7+I8^2*B8

Вопросы для самопроверки

 

1 Понятие и примеры СЛУ.

2 Что такое матрица коэффициентов, вектора неизвестных и свободных членов СЛУ? Какие элементы матрицы коэффициентов называются диагональными?

4 Дайте классификацию методам решения СЛУ.

5 Какие методы решения СЛУ называются прямыми? В каком случае они позволяют получить точное решение СЛУ? От чего зависит количество арифметических вычислений при использовании этих методов?

6 Какие методы решения называются итерационными? Что такое итерация и от чего зависит число итераций? Можно ли с помощью этого метода получить точное решение СЛУ?

7 Из каких этапов состоит решение СЛУ методом Гаусса с выбором главного элемента и в чём сущность каждого этапа? Продемонстрируйте этот метод на конкретном примере.

8 Какая СЛУ называется треугольной, в чём её особенность и как она решается?

9.

10 Поясните суть процедуры выбора главного элемента при решении методом Гаусса с выбором главного элемента? Для чего нужна эта процедура?

11 Из каких этапов состоит решение СЛУ итерационным методом Гаусса-Зейделя?

12 В каком случае итерационный процесс называется сходящимся, а в каком – расходящимся?