Первое представление о графике функции получаем из вида 
, а именно область определения, частные свойства (периодичность, четность, нечетность), нули функции и промежутки, где функция сохраняет знак. Знание пределов и производных позволяет определить асимптоты, экстремумы, выпуклость.
Монотонность, экстремумы. Характер (возрастание или убывание) функции на промежутке связан с первой производной. Если для всех точек промежутка 
, то функция возрастает на этом промежутке, если 
, то функция убывает. Функции, возрастающие или убывающие на промежутке, называются монотонными.
Пусть задана функция 
, непрерывная в точке 
и ее окрестности. Если для всех значений 
выполнено неравенство 
, то функция имеет в точке строгий максимум, а точка называется точкой максимума. Значение максимума вычисляется как значение функции 
. Аналогично определяется точка минимума. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной. Из уравнения 
находим значения 
, в которых возможен экстремум (точки, подозрительные на экстремум). Достаточное условие существования экстремума – изменение знака производной при переходе через точку 
, в которой 
.
Выпуклость, вогнутость. Для исследования выпуклости (вогнутости) графика функции используется вторая производная.
График функции выпукла вверх, если 
, вогнута вверх, если 
.
Асимптоты. Асимптотой называется прямая линия такая, что, если двигаться по графику функции в указанном направлении 
или 
, расстояние до соответствующей прямой (асимптоты) стремится к нулю. Различают асимптоты: вертикальные и невертикальные.
Вертикальной асимптотой называется прямая линия 
такая, что выполняется хотя бы одно из равенств
(4)
Невертикальная асимптота имеет уравнение 
, где параметры 
и 
определяются при помощи пределов:
(5)
При этом предела в формуле (5) должны быть конечны. В случае 
имеем дело с горизонтальной асимптотой.
Пример 5. Исследовать функцию 
на наличие экстремумов и определить промежутки возрастания, убывания.
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.
.
Определяя знаки выражения 
на интервалах 
, делаем вывод о том, что функция возрастает на промежутках 
, убывает на промежутке 
, имеет максимум в точке 
и минимум в точке 
.
Пример 6. Исследовать функцию 
на наличие экстремумов и определить промежутки возрастания, убывания.
Решение. Область определения функции 
.
В точке 
производная не существует. Отметим на числовой оси промежутки знакопостоянства для производной.
Вывод: функция возрастает на промежутках 
, убывает на промежутке 
, имеет максимум в точке 
и минимум в точке 
Анализ функции будем проводить поэтапно:
- по самой функции,
- по первой производной,
- по второй производной.
|
|
|
|
|
|
,
На основании всех проделанных вычислений составим таблицу. В первой строке запишем все значения , полученные в пунктах 1,5,7,9 и интервалы, на которые эти точки делят числовую ось, во второй строке - информацию для , в третьей строке – информация для . Четвертая строка – заключительная. В нее запишем информацию для функции . Для наглядности используем следующие значки:
Функция возрастающая и выпуклая вверх ─ 
,
Функция убывающая и выпуклая вверх ─ 
.
Функция возрастающая и вогнутая ─ 
.
Функция убывающая и вогнутая ─ 
.
Рассмотрим на примерах построение графиков нескольких функций.
Пример 7. Построить график функции 
.
Решение.
Пройдем по пунктам предложенный выше алгоритм. При этом в пунктах 5,7,9 определим только нули функции или ее производных, а определение промежутков знакопостоянства оставим до таблицы.
1. Функция определена для всех 
, то есть 
.
2. Функция не обладает свойствами периодичности, четности, нечетности.
3. 
.
4. 
. Следовательно, прямая 
- вертикальная асимптота для графика функции.
Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения 
и 
.
.
Следовательно, прямая 
- наклонная асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при 
, и при 
.
5. 
.
6-7. 
.
8-9. 
.
Составим таблицу, разбив числовую ось точками 
, 
, 
.
| -3 | 
| -1 | 
| 
| ||
| 
| 
|
| + | |||
| + |
| + | + | |||
| 
| Max
| 
| 
| 
|
Фактически в последней строке виден график функции. Осталось его привязать к системе координат и изобразить асимптоты.
Рис. 2
Пример 8. Построить график функции 
.
Решение.
1. Функция определена для всех, то есть 
.
2. Функция не обладает свойствами периодичности, четности, нечетности.
3. 
.
4. Вертикальных асимптот нет.
Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения и .
.
Следовательно, прямая 
- наклонная (горизонтальная) асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при , и при .
5. 
.
6-7. 
. Ни в одной из точек первая производная не обращается в нуль. Однако при значениях 
производная не существует, и эти точки могут оказаться экстремумами.
8-9. 
. Естественно вторая производная не существует при значениях и равна нулю, если 
.
Составим таблицу
| -1 | 
| 
| 
|
| ||
|
| 
|
| + | + | |||
|
|
| 
| + |
| + | ||
|
|
| Min |
|
| Max | 
|
График имеет вид, приведенный на рис. 3.
Рис. 3
Пример 9. Построить график функции 
.
Решение.
1. Функция определена для всех 
, то есть 
.
2. Функция не обладает свойствами периодичности, но является нечетной функцией. Далее можем рассматривать функцию только для положительных значений аргумента.
3. .
4. 
. Следовательно, прямая 
- вертикальная асимптота для графика функции.
Для определения существования наклонных асимптот вычислим значения и .
.
Следовательно, прямая 
- наклонная асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при , и при .
5. .
6-7. 
. Неотрицательные корни производной: 
.
8-9. 
.
Составим таблицу, разбив неотрицательную часть числовой оси точками 
, 
.
| 
| 
| 
| |||
|
| + | 
|
| |||
|
| + | + |
| |||
|
| 
| 
| Max -9 | 
|
Построим функцию для положительных значений аргумента и, воспользовавшись свойством нечетности, продолжим график влево. Окончательный вариант графика представлен на рис. 45.
Рис. 4