Составление (построение) математической модели задачи.
Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. Т.е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Иначе у нас получится математическая модель какой-то другой, неведомой нам задачи.)
Говоря конкретнее, нужно установить математическую связь между всеми данными задачи.
Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической модели любой задачи - невозможно.
Но можно выделить три основных момента, на которые нужно обратить внимание.
1. В любой задаче есть текст, как ни странно.) В этом тексте, как правило, имеется явная, открытая информация. Числа, значения и т.п.
2. В любой задаче имеется скрытая информация. Это текст, который предполагает наличие дополнительных знаний в голове. Без них - никак. Кроме того, математическая информация частенько скрывается за простыми словами и... проскакивает мимо внимания.
3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.
Сразу скажу: чтобы применить эти три момента, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз. Обычное дело.
Из текста задачи сразу ясно, к какой группе она принадлежит. Если куда-то едут автомобили, катера, велосипеды, идут туристы и т.п. – задача на движение. Если кто-то чего-то делает: пашет поле, наливает воду в бак, точит детали – задача на работу. Если о процентах – задача на проценты (удивительно, да?). А если что-нибудь совсем другое, или всё в одном флаконе – это уже остальные… Всего не предусмотришь, математика – она большая.
А зачем разделять задачи на какие-то группы? Решать, да и всё! Резонный вопрос. Отвечаю. Дело в том, что для каждой группы задач есть свой ключ к решению. Один для всей группы. Ключ – это формула или понятие, которое нужно знать железно! Без него – никак. А с ним – всё просто. Зная формулу-ключ для группы, вы можете решать все задачи по математике из этой группы. Заманчиво, да?
Проценты
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!
Движение
1. Записываем формулу-ключ: S = Vt
2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.
3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения.
4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего, вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она, подсказка, всегда есть.
5. Решаем уравнение. При получении двух корней – за ответ берём приличный корень, несусветный и левый – отбрасываем.
Простые задачи на работу.
В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности. Трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят дом и так далее. Любая может быть деятельность. Иногда и не очень похожая на работу...) Но в таких задачах всегда обыгрывается один и тот же набор величин.
Величины железно связаны между собой и образуют формулу-ключ. Именно этим ключиком и открывается решение любых задач на работу. Разберёмся, из каких же величин состоит формула-ключ. Их, величин, всего ничего. Три.
Первая величина в задачах на работу - время. Параметр простой и привычный. Это время, за которое выполняется та или иная работа. Измеряется, как вы догадываетесь, в секундах, минутах, часах, сутках и так далее. Обозначать время мы будем стандартно - буквой t.
Вторая величина - объём работы. Тоже параметр понятный. Сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Измеряется, соответственно, в тех единицах, о которых идёт речь в задаче. В деталях, литрах, полях и т.д. Я буду обозначать объём работы буквами Об.
Третья величина менее привычна. Это - производительность. Слово может и смутить кого-то, да...) Но, по сути, это просто скорость работы. И всё! Кто-то (или что-то) работает быстрее, а кто-то (что-то) - медленнее. Обычное дело.) Обозначим эту производительность буквами Пр.
В чём измерить скорость работы? Включаем элементарную логику. Если столяр Николай делает 5 табуреток в день, а столяр Василий - две, то кто быстрее работает?) Отсюда логичный вывод. Скорость любой работы (т.е. производительность) можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время. За единицу времени. Литры за час, табуретки за день, пирожки за минуту...
Из этих простых размышлений и получается формула для производительности.