Вариант назначается преподавателем.
Исходные данные: Результаты многократного измерения диаметра металлического стержня (мм).
Требуется: а) выявить результаты, содержащие грубую погрешность и избавиться от них;
б) оценить нормальность распределения результата наблюдения;
в) выполнить интервальную оценку.
Доверительную вероятность в пунктах а) и в) принимать равной Р= 0,95.
Пример решения.
а) Поскольку 
, для выявления результатов, содержащие грубую погрешность, используем метод вычисления максимального относительного отклонения (критерий 
).
Среднее арифметическое составляет:
Внимание! При расчёте  необходимо на промежуточных этапах при округлении сохранять на один разряд больше, чем было в исходных числах.
|
Среднее квадратичное отклонение 
определяется по формуле:
Таблица № 1. Расчёт 
и 
(при n= 15).
| № | 
|
| 
|
| 2,99 | 0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,99 | 0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 3,05 | 0,063 | 0,003969 | |
| 2,98 | 0,003 | 0,000049 | |
| 2,99 | 0,003 | 0,000009 | |
| 2,99 | 0,003 | 0,000009 | |
| 2,99 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| 2,97 | -0,017 | 0,000289 | |
| 2,98 | -0,007 | 0,000049 | |
| Сумма | 44,81 | 0,004695 | |
| Среднее | 2,987 |
Расчётные значения параметра для оценки возможного присутствия грубой погрешности вычисляются по формулам:
или 
Критическое значение 
определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 15 для уровня значимости 
находим 
.
Т.к. 3,443>2,493 (т.е. 
> 
), 
содержит грубую погрешность; этот результат ( м) отбрасывается.
Т.к. 0,929 <2,493 (т.е. 
< ), 
мм не содержит грубую погрешность.
Проводим повторный расчёт по оставшимся значениям
Таблица №2. Расчёт и (при n= 14).
| № |
|
|
|
| 2,99 | 0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,99 | 0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,99 | 0,007 | 0,000049 | |
| 2,99 | 0,007 | 0,000049 | |
| 2,99 | 0,007 | 0,000049 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| 2,97 | -0,013 | 0,000169 | |
| 2,98 | -0,003 | 0,000009 | |
| Сумма | 41,76 | 0,072 | 0,000486 |
| среднее | 2,983 | (сумма модулей) |
Критическое значение определяется по таблице 6 приложения: при числе наблюдений n= 14 для 
находим 
.
Т.к. 1,148< 2.461 (т.е. < ), 
= 2,99мм не содержит грубую погрешность;
Т.к. 2,131 < 2,461 (т.е. < ), 
= 2,97 мм так же не содержит грубую погрешность.
б) Т.к. 10…15< n<40…50, то для оценки нормальности применяем составной критерий.
Статистика dвычисляется по формуле
,
Задаемся уровнем значимости 
.По таблице 7 приложения при числе измерений n= 14 
; 
.
Условие 
< 
; 0,6767<0.8729 
0,9226 выполняется, поэтому в соответствии с первым критерием гипотеза о нормальности распределения принимается.
Для проверки по второму критерию в табл.8 приложения при n= 14 и 
= 0,02 находим 
m=1. В таблице 2 приложения находим значение 
.
Поскольку m= 1,то значение 
мм может превзойти только одно из отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического. В расчетной таблице №2 отклонений 
мм нет ни одного. Таким образом, и второй критерий говорит о том, что экспериментальные данные при уровне значимости 
не противоречат гипотезе о нормальности распределения результата наблюдения.
в) Т.к. гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения подтверждена и n<40…50, проведем интервальную оценку с помощью коэффициентов Стьюдента.
Половина длины доверительного интервала:
.
Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического:
.
мм
По справочной таблице вида 
“Распределение Стьюдента” (табл. 5 приложения) при заданной доверительной вероятности P= 0,95 и числе степеней свободы k=n-1=14-1=13 определяем соответствующий коэффициент Стьюдента: 
Тогда
мм
Ответ: 2,983 
0,004мм; Р= 95%.
Внимание! При записи окончательного ответа погрешность округляется до того количества значащих цифр, которое требуется по правилам округления. Затем округляется  до того же разряда, до которого была округлена погрешность.
|