Линейная зависимость векторов

Лекции по аналитической геометрии

Краткий конспект

Литература:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрия»

2. Ильин В.А.,Ким Г.Д. «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

3. Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры»

4. Веселов А.П., Троицкий Е.В. «Лекции по аналитической геометрии»

5. Цубербиллер О.Н. «Задачи и упражнения по аналитической геометрии»

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

О. Упорядоченную пару точек (А,В) на прямой будем называть направленным отрезком или фиксированным вектором (Ф.В.) и обозначать . Вектор будем называть нулевым.

О. Расстояние между точками А и В будем называть длиной (модулем) Ф.В. и обозначать .

О. Ф.В. будем называть коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых, либо хотя один из них нулевой. Обозначение:

О. Коллинеарные Ф.В. будем называть сонаправленными или прямоколлинерными, если лучи [AB) и [CD) имеют одинаковое направление, и противоположно направленными или антиколлинеарными, если лучи [AB) и [CD) имеют противоположное направление. Обозначение: и соответственно.

О. Векторы называются компланарными, если они расположены в параллельных плоскостях.

О. Два Ф.В. называютя равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Обозначение:

Множество всех Ф.В. можно разбить на классы эквивалентности равных между собой Ф.В.. Класс эквивалентности Ф.В. называется свободным вектором или просто вектором. Обозначение: Таким образом, вектор состоит из всех Ф.В., равных . Обычно вместо символа используется символ , который в зависимости от контекста читается как «вектор , порожденный Ф.В. » или «вектор , отложенный от точки А».

Векторы называются коллинеарными (компланарными), если коллинеарны

(компланарны) порождающие их вектора.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов Сумма векторов определяется следующим образом. Отложим вектор отпроизвольной точки А, пусть В – конец этого вектора, т.е. . Затем отложим вектор от точки В, пусть . Суммой векторов называется вектор, порожденный Ф.В. .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор для неколлинеарных векторов может быть получен как диагональ параллелограмма, построенного на векторах .

Вектор называется противоположным к вектору и обозначается .

Разность векторов называется вектор такой, что . Обозначение: .

Умножение вектора на число. Произведение вектора на число α – вектор α , удовлетворяющий условиям:

1) 2)

Свойства линейных операций:

Линейная зависимость векторов

Пусть - множество векторов и -действительные числа. - линейная комбинация векторов ,

- коэффициенты линейной комбинации.

О. Множество векторов называется линейно зависимым, если существует ненулевой набор чисел , при котором

Т1 (Критерий линейной зависимости)

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные вектора.

Т2 (О линейно зависимой подсистеме)

Если множество векторов содержит линейно зависимое подмножество, то оно линейно зависимо.

Следствия.

1) Множество векторов, содержащее нуль-вектор линейно зависимо.

2) Если множество векторов линейно независимо, то всякое его подмножество линейно зависимо.

Т3 (О линейной зависимости 2-х векторов)

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Лемма1 (О разложении вектора в плоскости)

Пусть векторы компланарны и . Тогда существует единственный набор чисел такой, что

Z. Упорядоченная тройка неколлинеарных векторов - базис в плоскости этих векторов и всякий компланарный с ними вектор можно разложить по базисным векторам: , коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

Т4 (О линейной зависимости 3-х векторов)

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Лемма2 (О разложении вектора в пространстве)

Пусть векторы некомпланарны. Тогда для любого вектора найдется единственный набор чисел такой, что .

Z. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов - базис в пространстве и всякий вектор можно разложить по базисным векторам: , коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

Базис называется ортогональным (ОБ), если базисные векторы попарно ортогональны.

Базис называется ортонормированным (ОНБ), если базисные векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Т5 (О линейной зависимости 4-х векторов)

Всякие 4 вектора линейно зависимы.

Проекция вектора на ось

О. Ось – прямая, с заданным на ней направлением с помощью единичного вектора , орта оси. (орт – вектор единичной длины).

О. Проекция точки А на ось – основание перпендикуляра, опущенного из этой точки.

О. Вектор - проекция вектора на ось – вектор , где - проекции точек на ось.

О. Скалярная проекция (или просто проекция) вектора на ось - число, определяемое как:

Свойства проекции:

О. Угол между векторами - наименьший угол между этими векторами, отложенными из одной точки. Векторы называются ортогональными (), если угол между ними равен π/2.

Т. (О вычислении проекции)

Пусть - угол между векторами . Тогда

Скалярное произведение

О. Скалярное произведение векторов - число , определяемое как:

где - угол между векторами.

Из определения следует:

1) (связь проекции и скалярного произведения)

2) (выражение длины вектора через скалярное произведение)

3) (выражение угла между векторами через скалярное произведение)

Свойства скалярного произведения.

1) - коммутативность

2) - линейность

3) - неравенство Коши-Буняковского

4) - неравенство треугольника

5) - критерий ортогональности

Пусть - ОНБ и , . Тогда

Векторное произведение

О. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если с конца вектора кратчайший поворот от к виден против (по) часовой стрелке.