В предыдущих пунктах был продемонстрирован определенный контекст, в котором могут существовать и существуют математические конструкции. Попробуем отдать себе отчет в некоторых определяющих особенностях такого их существования.
Во-первых, обратим внимание на чисто качественный, квалитативный, подход к математическим конструкциям. Эта особенность достаточно ярко прослеживается в приведенных выше примерах.
Во-вторых, — на отсутствие необходимой связи между нематематическим предметом рассмотрения и математической конструкцией. Приведем соответствующий пример.
Существует целая традиция использования геометрического образа круга (окружности) для прояснения соотношения Божественных ипостасей (hypostasis), которых три при единстве сущности (oysia). Однако делаться это может несколько по-разному.
Так Николай Кузанский сравнивает Бога с максимальным кругом, у которого, в силу единственности максимума, центр, диаметр и окружность тождественны. “Ты видишь, — пишет он, — что простой и неделимый максимум целиком залегает внутри всего как бесконечный центр, что он извне всего охватывает все как бесконечная окружность и что он все пронизывает как бесконечный диаметр. Он начало всего как центр, конец всего как окружность, середина всего как диаметр. Он действующая причина как центр, формальная причина как диаметр, целевая причина как окружность. Он дарует бытие как центр, правит как диаметр, хранит как окружность, — и многое в том же роде”. По-видимому, центр, дающий единство кругу, символизирует здесь Отца как единство, диаметр, как характеризующий равенство круга по всем направлениям, — Сына как равенство единства, окружность, замыкающая и связующая круг, — Духа как связь Отца и Сына.
Несколько по-другому у Кеплера: “Образ Триединого Бога — это сферическая поверхность; другими словами, Бог-Отец находится в центре, Бог-Сын — на наружной поверхности, а Бог-Дух Святой — в равенстве отношений между точкой и поверхностью”. Вместо круга мы имеем здесь дело с шаром, а элементы, с которыми связывались Сын и Дух, поменялись местами.
Поясняя, почему Бог троичен, а не четверичен, пятеричен и т. д., Николай Кузанский использует образ треугольника как простейшего из многоугольников: “Четырехугольная фигура не минимальна, что очевидно, поскольку треугольник меньше ее; значит простейшему максимуму, который может совпасть только с минимумом, четырехугольник, всегда составный и потому больший минимума, подходить никак не может”.
Рассматривая тот же вопрос, П. А.Флоренский привлекает иной образ: он предпочитает представлять себе взаимное расположение точек на окружности. “В трех ипостасях, — пишет он, — каждая — непосредственно рядом с каждой, и отношение двух только может быть опосредствовано третьей. Среди них абсолютно немыслимо первенство. Но всякая четвертая ипостась вносит в отношение к себе первых трех тот или иной порядок и, значит, собою ставит ипостаси в неодинаковую деятельность в отношении к себе, как ипостаси четвертой”.
Обсуждаемое отсутствие необходимой связи интересно выразилось уже в “Тимее”. Желая конструировать правильные многогранники из прямоугольных треугольников, Платон избирает два наиболее “прекрасных” из них — равнобедренный и “тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник — равносторонний” (так называемый гемитригон). Первый из избранных треугольников “хорош” по понятной причине — у него равные катеты. Но почему из всех неравнобедренных прямоугольных треугольников выбран именно гемитригон? Этого Платон не объясняет: “Обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)”.
Обе названные особенности существования математических конструкций в интересующем нас культурном контексте являются частными проявлениями более общей тенденции — тяготения к восприятию математики как эстетического феномена. Эстетического — в широком, первоначальном смысле этого слова — от aisthesis — чувственное восприятие (в первую очередь зрение).
Греческая математика преимущественно геометрична, а в платонической традиции именно геометрия оказывалась самой “математической” из всех математических дисциплин, дисциплиной, наиболее полно воплощающей срединное положение математики между чувственным и эйдетическим. Именно эстетическая сторона математики выявляет себя наиболее полно в математической мифологии.
Как мы уже отмечали, всякая специфическая область приложения математики позволяет по-новому взглянуть на математику вообще. Какую же перспективу в понимании математики открывает нам математическая мифология и работа математических конструкций в роли парадигмальных схем?
В данном аспекте ключ к пониманию природы математики наиболее естественным представляется искать, конечно же, в наиболее наглядной, “зримой” области математики — в геометрии.
Уже Прокл отчетливо зафиксировал главную особенность геометрической мысли: она способна дать развернутое знание о своих предметах лишь с помощью воображения (phantasia), отразив их в воображаемой материи (hyle phantaston). Предмет математики не умозрителен, но и не воспринимаем чувствами. Он удивительным образом причастен и тому и другому, что Аристотель зафиксировал в парадоксальных, совмещающих главные противоположности платонической онтологии терминах hyle noete (“мыслимая материя”) и noys pathetikos (“страдательный разум”).
Геометрическое воображение Прокла оказывается одновременно совмещающим в себе казалось бы несовместимое: чистую активность (noys) и чистую пассивность (hyle). Чистая мысль (noys theoretikos), овеществляясь, обращается в геометрии в noys pathetikos, а материя чувственного восприятия (hyle aisthete), очищаясь, предстает как более “тонкая” геометрическая материя (hyle noete, hyle phantaston).
Следующий важный шаг в осмыслении природы геометрической мысли делает Кант. Прокловскому различению hyle aisthete и hyle phantaston у Канта соответствует противопоставление эмпирического и чистого созерцания (reine Anschauung). Причем Кант явно называет это чистое созерцание — “пространство + время”. Здесь “пространство и время” обозначают тот универсальный фундамент, который соответствующий мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления. Геометрическое мышление есть пространственно-временное конструирование, а предмет геометрии — пространство и его отношения, временная динамика пространственных конструкций.
В самом деле, в эстетическом аспекте деятельность геометра предстает как организация и переорганизация пространственных элементов во времени, а цель — изучение существующих здесь возможностей. Решая задачу из элементарной геометрии, мы проводим прямые и окружности, фиксируем их пересечения как точки. Затем исследуем устройство получившейся конфигурации: насколько “жестко” заданные условия фиксируют соответствующую “конструкцию”, сколько различных конструкций может быть “собрано” из данных элементов и т. п.
Особенно важно отметить, что соединение любых двух элементов в этой деятельности непосредственно дается нам в созерцании, мы непосредственно “видим”, как они “стыкуются” между собой. Доказательства же и вычисления в эстетическом аспекте предстают как сравнение и сопоставление различных элементов исследуемой конструкции.
Нарисованная картина порождает, однако, ряд вопросов и требует комментария.
Во-первых, обратим внимание на то, как проявляется в нашем простейшем случае платоническая тема срединного положения геометрической деятельности между чистой активностью и чистой пассивностью. С одной стороны, налицо активное, конструктивное начало — мы можем порождать те или иные конфигурации по собственному желанию.
С другой стороны, мы не можем, например, заставить две прямые “заключать пространство”, та среда, в которой мы разворачиваем свою конструктивную активность, имеет свои закономерности, не позволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным, накладывая на него свои ограничения. Эта среда обладает “косностью”, она сопротивляется формующей руке творца, эта среда материальна — актуализировать в ней можно лишь то, что допускается ее собственными потенциями. Более того, деятельность геометра, судя по всему, как раз и направлена именно на выявление этих потенций, а не на наслаждение собственным произволом. Наряду с конструктивным началом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивного.
Во-вторых, следует особо остановиться на кантовском различении чистого и эмпирического. Насколько математическая мысль действительно свободна от эмпирических образов? Рассуждая, геометр чертит палочкой на песке, мелом на доске или ручкой на бумаге. Те или иные эмпирические “подпорки” постоянно сопровождают геометрическую мысль. В каком смысле можно говорить, что она от них независима? Ведь хорошо известно, что уже в случае достаточно сложной задачи из элементарной геометрии практически невозможно обойтись без помощи эмпирического чертежа.
Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем. Да, геометр рассуждает, глядя на нарисованный им на доске треугольник. Можно даже сказать, что он рассуждает об этом самом нарисованном треугольнике, однако, но поскольку он нарисован мелом и на доске, т. е. не поскольку он есть некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник организован в нашем представлении по определенным закономерностям. Точнее, этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на определенной пространственной конфигурации. При этом нам не столь уж важно, способны мы представлять треугольник полностью свободным от эмпирических характеристик (например, цвета) или нет. Нам вполне достаточно различать в самом эмпирическом предмете пространственно-временные характеристики ото всех остальных. Так разные (с эмпирической точки зрения) чертежи вполне могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию (единый гештальт).
Однако мы можем задать теперь следующий вопрос: а в самом ли деле мы способны отличать пространственно-временные характеристики ото всех остальных? Кант убежден, что да. Но приводимый им в подтверждение этого и уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого.
Он вызывает в нашем воображении лишь некие смутные образы (из разновидности “образов абстрактного”, которые Р. Арнхейм уподобляет импрессионистской живописи). Интерсубъективность таких образов может вызвать серьезные сомнения. Значительно более надежно указывают на интересующий нас предмет сами слова “пространство” и “время”. Сам факт устойчивого существования их в языке предполагает наличие постоянной преемственности в контекстах их употребления в достаточной степени, обеспечивающей взаимопонимание (хотя и не гарантирующей абсолютной неизменности их смысла!).
Во всяком случае, эти слова определяют свой предмет не хуже, чем слово “математика” — свой. Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении смысла может служить лишь сам текст этого выступления. Но что же все-таки способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта? Во всяком случае, достаточную фундаментальность ситуаций употребления слов, выражающих пространственно-временные характеристики.
В-третьих, определенного комментария требует и утверждение о данности геометрических фигур в созерцании. Еще Декартом был приведен знаменитый пример с тысячеугольником, который не может быть нами воображен. Хуже того, даже такие простейшие геометрические объекты как “точка” или “прямая” непредставимы наглядно в точном смысле слова, ведь простейший мысленный эксперимент убеждает нас в непредставимости ни слишком малого, ни слишком большого.
Действительно, мы не можем представить точку, не имеющую размеров, не можем представить линию, не имеющую толщины, не можем сразу охватить взглядом бесконечную прямую. Однако это не мешает нам представлять прямые и точки все же достаточно отчетливо для того, чтобы отличать различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно “видеть” их взаимное расположение.
Прямую мы имеем возможность “видеть” достаточно тонкой для того, чтобы в процессе рассуждения не обращать внимания на ее толщину, а точку — достаточно малой для того, чтобы игнорировать ее размеры. Действительно, мы не можем представить тысячеугольник настолько отчетливо, чтобы отличать его от многоугольника с несколько большим или несколько меньшим числом сторон. Однако мы можем достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними сторонами, а этого уже вполне достаточно для изучения математических свойств соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже).
В-четвертых, необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии. Выражение “пространственно-временное конструирование” следует понимать как пространственную организацию и переорганизацию элементов во времени. Время входит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных элементов. Время в геометрии всегда есть лишь движение пространственных элементов. Время как таковое не подлежит не только геометрическому, но и математическому изучению вообще, да и движение как таковое также. Лишь подменив время движением, а движение его пространственным следом (траекторией), мы можем сделать их предметом математического изучения.
По существу мы будем изучать при этом не время и не движение, а особенности пространственной организации самой траектории. Даже изучая в элементарной геометрии, что может быть построено с помощью циркуля и линейки, а что — нет, мы также не делаем предметом нашего рассмотрения геометрическое становление как таковое, но скорее — раскрываемые им особенности организации пространства.
Итак, мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями геометрической мысли в эстетическом ее аспекте. Следующим шагом, естественно, должна стать попытка, распространить наши рассуждения и на другие области математики, проверить, не обнаружим ли мы и там то, что привлекло наше внимание в простейших геометрических примерах. Необходимо выяснить, в какой мере то, что было сказано нами о геометрии, можно повторить и о математике вообще; что можно повторить дословно, а что лишь mutatis mutandis.
Кант этот шаг делает: конструктивный характер математическое мышление сохраняет и за пределами геометрии, однако собственно геометрическое, или остенсивное, конструирование заменяется в арифметике и алгебре на символическое.
Нечто принципиально новое, по сравнению с рассмотренным выше собственно геометрическим конструированием, мы обнаруживаем уже на примере позиционной записи натуральных чисел. Введя строго фиксированный конечный набор графических символов и определенные правила их комбинирования, мы получаем возможность наглядно представлять достаточно большие натуральные числа и производимые над ними действия.
В эстетическом аспекте вся арифметика натуральных чисел предстает как система организуемых на плоскости графических символов. Организация символов производится посредством нескольких типов манипулирования этими символами: расстановки и перестановки знаков, замены одних знаков другими. Вспомним хотя бы умножение “столбиком” или деление “уголком”. Указанные манипуляции могут быть охарактеризованы как квазигеометрические, поскольку, представляя собой операции с графическими знаками как целостными образованиями, собственно геометрическими они не являются. Геометрическая конфигурация самого знака здесь совершенно неважна, важно лишь удобство его с точки зрения простоты написания, перестановок и замен, а также достаточное отличие от других знаков в рамках той же системы.
Работа с более богатой и разнообразной алгебраической графикой также может быть охарактеризована как манипулирование графическими символами. Рассмотрим в качестве примера одну из простейших алгебраических конструкций — группу. Группа — это совокупность элементов (в качестве графических символов можно использовать буквы латинского алфавита), правила манипулирования с которыми, задаются следующими условиями, называемыми аксиомами группы:
· (G1) из двух элементов x и y можно составить новый графический символ x•y;
· (G2) графические символы (x•y)•z и x•(y•z) являются взаимозаменяемыми;
· (G3) среди элементов группы имеется элемент, называемый нейтральным, который обозначим e, такой, что содержащие его графические символы x•e, e•x и x являются взаимозаменяемыми;
· (G4) вместе с элементом x имеется элемент, называемый обратным для x, обозначим его x', такой, что символы x•x', x'•x и e являются взаимозаменяемыми.
Во всех аксиомах x, y и z — произвольные элементы группы. Доказательства каких-либо утверждений относительно групп представляют собой разворачивание определенных квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных особенностей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил. Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный элемент единственный.
Демонстрируется, что любые два графических символа, изображающие нейтральный элемент, взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это символы e и f. Тогда, согласно правилу (G3), f взаимозаменяем с e•f, а этот последний символ — с e, следовательно, e и f взаимозаменяемы. Перед нами манипуляционное обоснование, в основе которого всегда лежат простейшие манипуляции, типа “подставить вместо”, являющиеся неформальными, геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают, всегда негласно предполагается.
Н. Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна: “Доказательство в математике заключается в том, что уравнение записывают на бумаге и смотрят, как одно выражение вытекает из другого. Но если всегда подвергать сомнению выражения, которые появляются на бумаге, то не может существовать ни доказательств, ни самой математики”. Вспоминаются также слова Г. Вейля: “Способ, каким математик обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и клеем”.
В эстетическом аспекте, как геометрическое, так и математическое доказательство вообще предстает как демонстрация, т. е. непосредственный показ того, как соединяются, “стыкуются” элементы соответствующей математической конструкции. Результат же математического доказательства — математическое утверждение — есть, в интересующем нас аспекте, утверждение об особенностях соединения элементов математической конструкции, которое мы имели возможность “видеть” в процессе доказательства. Неслучайно математическое утверждение получило название теорема (theorema), т. е. “зрелище”, “то, что смотрят”.
Как известно, самый веский аргумент для обыденного мышления звучит приблизительно так: “Я сам видел, не веришь — пойди и посмотри”. Заслуживает внимания тот факт, что наиболее точная из теоретических наук — математика, составляющая как бы диаметральную противоположность обыденному знанию, черпает доказательную силу своих рассуждений в непосредственной наглядности своего предмета, т. е. также в возможности “увидеть самому” и “показать другому”. Можно сказать даже, что подлинной убедительностью, подлинной доказательной силой обладает только демонстрация (непосредственный показ). Как говорит Шопенгауэр: “Последняя, т. е. исконная очевидность, — созерцаема, что показывает уже само слово”.
Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений возможностей нашего наглядного представления пространственно-временных отношений (в восприятии слишком большого, слишком малого и т. п.), то, возможно, и математического доказательства, а тем самым и теоретической математики не возникло бы. Математикам не понадобилось бы идти далее лаконичного “смотри” древних индийцев или перегибания чертежа (как, по-видимому, обосновывал геометрические утверждения еще Фалес). Мы могли бы смело, вслед за Шопенгауэром, возмутиться хитросплетениями доказательств от противного, производимых Евклидом там, где достаточно всего лишь перегнуть рисунок, и полагать, что самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без каких-либо комментариев.
Однако указанные ограничения существуют, и именно обговаривание соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение математики как таковой. Но математики не смогли бы продвинуться достаточно далеко в своих изысканиях, если бы не научились воплощать словесные рассуждения в квазигеометрические символические построения, т. е. не смогли бы вновь опереться на геометрическую очевидность, но на качественно новом уровне.
Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном, которое позволяет шагнуть от геометрического конструирования к квазигеометрическому манипулированию графическими символами. “Посредством понятийного мышления, — говорит Г. Рейхенбах, — мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так сказать, “перехитрить” визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуцировать новые образы”.
Уже при решении простейших задач геометрии наряду с собственно геометрическим конструированием систематически применяется и квазигеометрическое конструирование.
Возвращаясь к примеру с тысячеугольником, можно заметить, что хотя его наглядное представление и невозможно в той степени, в какой оно осуществимо для трех- или пятиугольника, однако, сохранить конструктивный характер соответствующих рассуждений легко удается посредством введения алгебраической символики, позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей конфигурации вне зависимости от числа сторон, а также различать неразличимые в наглядном представлении многоугольники с тысячью и тысяча двумя сторонами. Там, где геометрическая наглядность нам отказывает, мы можем опереться на наглядность квазигеометрическую. При этом, как мы могли отвлекаться (абстрагироваться) от толщины геометрических линий и размера геометрических точек, так мы абстрагируемся и от конкретного очертания используемых нами алгебраических знаков, сосредотачивая внимание лишь на системе пространственно-временных отношений, с их помощью передаваемых.
То, что математик занимается при этом именно пространственно-временными отношениями, хорошо иллюстрируется широким применением в математике аксиоматического метода. Ведь главная его идея состоит в сведении определения объекта к указанию системы отношений, в которых этот объект может находиться с другими объектами той же теории.
Итак, в эстетическом аспекте математическое мышление предстает перед нами как пространственно-временное конструирование, которое может выступать либо в форме собственно геометрического конструирования, либо как квазигеометрическое конструирование, т. е. манипулирование графическими символами.
Что изучает математика?
Пространственно-временные конструкции.
Как она это делает?
Посредством разворачивания пространственно-временных конструкций другого уровня.
Такой взгляд на природу математики может быть охарактеризован как пангеометризм. Для него ключом к пониманию специфики математического мышления является именно образный аспект математики, понятийно-логический же аспект рассматривается при этом как вторичный.