Евклидово т- мерное пространство. Вектора.
n-мерным вектором наз. упорядоченный набор из n-действительных чисел, n=1,2,3….
x=(х1,х2,…,хn) строчная
х1
x= х2 столбцовая
:
хn
одновременно вектор х – действительное число.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А В, l<0, то А ¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
Суммой n-мерных векторов наз.n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонентов.
(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn) = (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)
n=5
(1,-2,0,-1,1)+(1,2,-1,0,3) = (1+1, -2+2, 0-1, -1+0, 1+3) =
= (2,0,-1,-1,4)
Произведение и длина вектора
а =х1 i +y1 j +z1 k; b =х2 i +y2 j +z2 k
l* a =l(х1 i +y1 j +z1 k)= l(х1) i +l (y1) j +l(z1) k
a ± b =(x1±x2) i +(y1±y2) j +(z1±z2) k
ab =x1x2 ii +y1x2 ij +x2z1 ki +x1y2 ij +y1y2 jj + z1y2 kj +x1z1 ik +y1z2 jk +z1z2 kk =x1x2+y1y2+z1z2
ii =1; ij =0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа =x2+y2+z2=| a |2 a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a 2=| a| 2
ab =|a|*|b|*cosj
а) ав =0,<=> а ^ в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б) а || в - коллинеарны, если, x1/x2=y1/y2=z1/z2
Матрица
Матрица размера m на n
(m x n), с элементами из некоторого множества называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, на пересечении которых находятся элементы множеств.
Если элементы матрицы числа, то матрица называется числовой.
Внутренняя структура числовой матрицы:
1) Ai = (ai1, ai2,…, ain) – строки матрицы можно рассматривать как n-мерные векторы, а матрицу рассматривают, как систему ее строк
A1
A = A2
::
Am
2) столбцы матрицы
a1j
a2j
Aj =::: Î Rm – столбцы
amj матрицы можно
рассматривать как m-мерные векторы, а саму матрицу как систему её столбцов.
Примеры матриц:
1) Нулевая матрица размером m на n
000…0
Om x n = 000…0
000…0
2) Единичная матрица размерjм m на n
1 0 0…0 0
Em x n = 0 1 0…0 0
0 0 0…0 1
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Называется квадратной, элементы квадратной матрицы совпадающими номерами образуют ее главную диагональ. Единичная матрица – это квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы - нули.
3) Диагональные матрицы
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
Матрица – таблица из mґn чисел расположенных в виде m строк и n столбцов.
Числа из которых состоит матрица – её элементы.
aik i – номер стоки k – номер столбца
если число строк = числу столбцов (m=n) матрица назыв квадратной порядка n
Матрица сост из 1-го столбца – Матрица – стоцбец
Матрица сост из 1-ой строки – Матрица – строка
Матрицы назыв равными если они одинакового размера и если на одинаковых местах у них стоят равные числа
Сложение и умножение на число – лин операции над матр.
1) Матрицы одинакового размера складыв поэлементно
2) Умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый её элемент
По аналогии с обычным вектором кот можно задать упоряд сист чисел, упоряд сист сост из n эл-ов, назыв n – мерным арифмет вектором а эл-ты назыв компонентами.
У матрицы размера mґn столбцы явл-ся
m – мерными вект а стоки n – мерными векторами
Сумму попарных произвед одноимённых компонентов векторов назовём свёрткой этих векторов или их скаляр произвед
(a1b)=a1b1+a2b2+…+anbn
Пусть имеются 2 матр Amґn и Bnґp так что строки 1-ой и столбцы второй имеют один и тот же размер n
Строки 1-ой и столбцы 2-ой назыв n – мерными векторами
Транспонированием матрицы назыв операция при котор строки и столбцы меняются местами.
A= 1 2 3 A^t= 1 4 (A^t)^t=A
4 5 6 2 5
3 6
Перемножение матриц. Различные виды.
Произвед Amґn на Bnґp назыв матрица
Cmґp элемент Cik который равен свёртке
i – строки матрицы А и k – столбца матр В
Cik=ai1·b1k+ai2·b2k+…+ain·bnk
Пусть 
Оказывается перемножение матриц не перестановочно AB№BA (не обязат равно)
Если для каких-либо матриц АВ=ВА – такие матрицы наз перестановочными