Рассмотрим задачу об определении концентрации напряженного состояния в подкрепленной композитной панели, на краю которой нагрузка передается через крайние продольные подкрепления, а средняя часть панели на этом краю выключена из работы [2].
Рассмотрим трехстрингерную панель, в которой обшивка и средний подкрепляющий элемент на свободном краю не нагружены, а вся нагрузка передается через два крайних стрингера [2]. Противоположный край панели закреплен. Все параметры, оси координат и нагрузка панели приведены на рис. 2.11
Рис.2.11. Расчетная панель:
а – схема нагружения; б – равновесие отсеченной части
Решим эту задачу в напряжениях и определим напряженно-деформированное состояние в панели. Построим аналитическое решение и сравним полученный результат с решением по методу конечного элемента. Считаем, что обшивка работает в условиях плоского напряженного состояния, а стрингеры сопротивляются растяжению – сжатию. Тогда в каждой из обшивок возникают усилия , , , а в поясах силы , , .
Примем, что в пластине нормальные усилия меняются вдоль координаты по квадратичному закону и представляются в виде:
.
Предварительно удовлетворим все статические соотношения. Учитывая симметрию поперечного сечения панели, удовлетворим все статические уравнения равновесия, тогда получим , , , . Равенство всех сил в сечении панели имеет вид:
, (2.32)
После интегрирования усилий в пластине выразим составляющую силы через силу и остальные неизвестные уравнения (2.32) с учетом вида выражения , которая примет вид:
.
Удовлетворим уравнения равновесия в обшивках
, (2.33)
и с их помощью касательное усилие и нормальное усилие вдоль оси выразим через нормальное усилие . Эти усилия принимают вид: , ,
где и есть функции интегрирования и определяются из условий контакта пояса и стенки. При значении должны выполняться условия и . После подстановки усилия в выражения (2.33), интегрирования по координате и удовлетворения граничных условий выражения (2.33) принимают вид:
,
.
Таким образом, все неизвестные силовые функции напряженного состояния выражаются через усилие в поясе и , т.е. задача два раза статически неопределима. Для удовлетворения уравнений совместности деформаций и определения статических неизвестных используем принцип наименьшей работы. Запишем потенциальную энергию конструкции:
.
После подстановки выражений для сил и усилий и интегрирования их по координате потенциальная энергия примет вид
.
Минимизируя функционал, получаем два дифференциальных уравнения совместности деформаций для определения неизвестных в форме:
Константы интегрирования определяются из следующих граничных условий:
при .
при используем естественные граничные условия
, , , (2.34)
Для получения конкретного результата в рассматриваемой задаче зададим следующие значения параметров (рис. 2.11): размеры панели м, м; характеристики подкрепляющих элементов: модуль ГПa, площадь поперечного сечения м2; каждая действующая сила кН. Структура материала панели имеет слои с углами укладки , и соответствующими толщинами м. Характеристики слоя материала приняты: модуль вдоль направления волокон ГПа, поперек направления ГПа, модуль сдвига ГПа, больший коэффициент Пуассона .
С этими параметрами панели система дифференциальных уравнений совместности деформаций принимает конкретный вид:
Решение этой системы дает следующие значения силовым параметрам и :
После удовлетворения граничных условий (2.34) определяются константы интегрирования, которые равны (без приведения размерности):
Таким образом, определены все силовые функции, действующие в панели, которые представим на графиках. На рисунке 2.12 показаны изменения усилий , и вдоль длины панели.
|
На рис. 2.12 представлено сравнение аналитического решения с решением этой задачи выполненной с помощью программы NASTRAN.
|
На рисунке 2.13, сравнены результаты аналитического решения и методом конечного элемента с использованием программы NASTRAN. Как видно, что результаты хорошо совпадают, поэтому аналитическое решение, как более простое, для использования предпочтительнее, особенно в задачах анализа напряженного состояния и проектирования. Из графиков видно, что усилия в стрингерах и панелях очень быстро изменяются в местах приложения нагрузки P и концентрация напряжений может приводить к полному разрушению конструкции.
Как видно из приведенного решения, на краю панели в обшивке возникает большая концентрация напряжения, что может привести к дальнейшему разрушению обшивки. Сравнение аналитического решения с решением методом конечного элемента показывает хорошее совпадение, и, следовательно, обоснованность использования простого аналитического подхода к решению задачи.