Контрольная работа № 1 по дисциплине «Высшая математика»
Для студентов заочной формы обучения (1 семестр)
Направления ЭЛЭТ
Вариант контрольной работы определяется последней цифрой номера зачетной книжки (0 соответствует варианту 10).
Задание № 1. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется:
а) решить систему по правилу Крамера;
б) решить систему методом Гаусса;
в) решить систему с помощью обратной матрицы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание № 2. Даны координаты вершин пирамиды 
. Требуется:
а) найти длину ребра 
;
б) найти косинус угла между ребрами и 
;
в) найти синус угла между ребром и плоскостью 
;
г) найти площадь треугольника ;
д) найти объем пирамиды и длину высоты, опущенную из вершины 
на плоскость ;
е) записать уравнение плоскости и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость .
1. 
, 
, 
, 
.
2. 
, 
, 
, 
.
3. 
, 
, 
, 
.
4. 
, 
, 
, 
.
5. 
, 
, 
, 
.
6. 
, 
, 
, 
.
7. 
, 
, 
, 
.
8. 
, 
, 
, 
.
9. 
, 
, 
, 
.
10. 
, 
, 
, 
.
Задание № 3. Вычислить пределы:
| 1. | а) |  ,
| 2. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  .
| ||
| 3. | а) |  ,
| 4. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  .
| ||
| 5. | а) |  ,
| 6. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  .
| ||
| 7. | а) |  ,
| 8. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  .
| ||
| 9. | а) |  ,
| 10. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  .
|
Задание № 4. Найти 
для функций:
| 1. | а) |  ,
| 2. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 3. | а) |  ,
| 4. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 5. | а) |  ,
| 6. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 7. | а) |  ,
| 8. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 9. | а) |  ,
| 10. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  ,
|
Задание № 5. Исследовать функцию и построить ее график.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
.
Задание № 6. Найти неопределенные интегралы.
| 1. | а) |  ,
| 2. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 3. | а) |  ,
| 4. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 5. | а) |  ,
| 6. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 7. | а) |  ,
| 8. | а) |  ,
|
| б) |  ,
| б) |  ,
| ||
| 9. | а) |  ,
| 10. | а) |  ,
|
| б) |  .
| б) |  ,
|
Задание № 7. С помощью определенного интеграла вычислить площадь области , ограниченной заданными линиями.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Вопросы программы на 1-ый семестр
1. Определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений. Определители 2-го, 3-го и n -го порядка. Свойства определителей и методы их вычислений. Понятие матрицы. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. Совместность линейных систем алгебраических уравнений. Методы решений систем линейных алгебраических уравнений.
2. Векторы и операции над ними. Векторы в пространстве. Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.
3. Кривые на плоскости. Кривые и поверхности в пространстве. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.
4. Понятие функции одного действительного переменного. Предел функции. Непрерывность функции. Множества, комплексные числа. Понятие функции. Способы задания функции. Сложные функции. Обратная функция. Числовая последовательность. Предел последовательности. Число е. Понятие предела функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Замечательные пределы. Непрерывные в точке функции и их свойства. Точки разрыва функции и их классификация.
5. Производная и дифференциал функции. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Дифференцирование сложной функции. Производная обратной функции. Логарифмическая производная. Таблица основных производных. Неявная функция и ее дифференцирование. Дифференцирование параметрически заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.
6. Теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум функции. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа), их геометрический смысл. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа. Разложение некоторых функций по формуле Тейлора.
7. Исследование функций с помощью производных. Условия возрастания и убывания функции на отрезке. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Условия выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема построения графика функции.
8. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
9. Определенный интеграл, его свойства и приложения. Понятие определенного интеграл. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы первого и второго рода. Геометрические приложения определенного интеграла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Под ред. И.М. Петрушко. Лекции и практикум (учебное пособие) Лань, 2008.
2. Линейная алгебра и геометрия. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Лань, 2008.
3. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1,2 Н.С. Пискунов, М. Интеграл-пресс. 2007.
4. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. Лань, 2008.
5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. (линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ), Лань, 2007.
6. Сборник задач по математике для втузов в 4 частях. Под ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова, М., ФМ, 2004.
7. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. М., Высшая школа, 2005.
8. Математика (общий курс) - Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский, Лань, 2004.
9. Неопределенный интеграл: практикум: учеб. пособие / Д. Г. Орловский. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2006.
10. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред. И. М. Петрушко. - СПб.; М. - Краснодар: Лань, 2006.
11. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред., И. М. Петрушко. - 2-е изд., испр. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007
12. Лекции по высшей математике. Учебное пособие. А.Д. Мышкис, Лань, 2007
13. Сборник задач по высшей математике (с контрольными работами). Т. I, Т.II. К.Н.Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. М., Айрис-пресс, 2004.
14. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. О.Н. Цубербиллер. Лань, 2007.
15. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс. 2009.
16. Мочалин А.А., Гончарова Г.А., Гарбуз Е.В. Высшая математика: Учеб. пособие. Саратов.: СГТУ, 2001.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Образец титульного листа.
(Бланк вырезается и наклеивается на тетрадь.)
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ