Определение. Множество линейно независимых решений системы однородных линейных уравнений называется базисным множеством ее решений (или фундаментальной системой), если любое ее решение можно представить в виде линейной комбинации решений этого множества.
Теорема. Если количество линейно независимых уравнений однородной системы линейных уравнений меньше количества неизвестных этой системы, то фундаментальная система существует, и не единственная.
Эту теорему принимаем без доказательства, однако покажем на примерах, как находить фундаментальную систему.
Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений
Решение. 
, 
, 
,
Таким образом,
где t – любое число, т. е. мы нашли общее решение системы.
При t = 1 получаем фундаментальное решение
.
Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений:
Решение.
, 
,
,
где 
могут принимать любые значения.
Общее решение системы имеет вид:
,
где 
принимают любые значения. Давая свободным неизвестным поочередно значения, равные элементам столбцов определителя 
, получим матрицы-столбцы
,
представляющие собой фундаментальную систему решений. Вместо определителя можно взять не равный нулю определитель вида 
Последнее особенно очевидно, если учесть, что
= u 
+ v 
.
Тесты
1. Что называется определителем квадратной системы линейных уравнений?
Ответ: 1) определитель, в котором первый столбец состоит из коэффициентов при втором неизвестном;
2) определитель, в котором i -й столбец состоит из коэффициентов при i -м неизвестном для всех возможных значений i;
3) определитель, в котором i -я строка состоит из коэффициентов при i- м неизвестном для всех возможных значений i;
4) определитель, в котором i -я строка состоит из коэффициентов при j -м неизвестном для всех возможных значений i, j.
2. Сколько решений имеет квадратная система линейных уравнений, в которой имеется 10 неизвестных и определитель которой отличен от нуля?
Ответ: 1) 2; 2) 0; 3)10; 4) 1.
3. Что называется невырожденным базисным решением системы линейных уравнений?
Ответ: 1) решение, в котором количество нулевых значений неизвестных равно количеству свободных неизвестных;
2) решение, в котором количество нулевых значений неизвестных равно количеству базисных неизвестных;
3) решение, в котором количество нулевых значений неизвестных больше количества свободных неизвестных;
4) решение, в котором количество нулевых значений неизвестных меньше количества свободных неизвестных;
4. Сколько решений имеет квадратная система линейных уравнений, если определитель системы равен нулю, а один из вспомогательных определителей отличен от нуля?
Ответ: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.
Задания для самостоятельной работы
1. Методом Крамера решить систему уравнений:
2. Методом Гаусса решить систему уравнений:
3. Методом Жордана-Гаусса найти общее и базисные решения системы уравнений: