Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

1. Найти площадь D АВС, если А(-1, 2, 1), В(-2, 2, 5), С(-3, 3, 1).

2. Найти площадь D АВС, если А(1, 1, 2), В(0, 1, 6), С(-1, 2, 2).

3. Найти площадь D АВС, если А(2, -1, 1), В(1, -1, 5), С(0, 0, 1).

4. Найти площадь D АВС, если А(1, 2, 1), В(0, 2, 5), С(-1, 3, 1).

5. Найти площадь D АВС, если А(1, -1, 2), В(0, -1, 6), С(-1, 0, 2).

6. Вычислить объем пирамиды с вершинами: А(-2, 1, -1), В(-3, 1, 3), С(- 4, 2, -1), D(-2, 3, 1).

7. Вычислить объем пирамиды с вершинами: А(-1, -2, 5), В(-3, -1,1), С(-2, -2, 5), D(-1, 0, 3).

8. Вычислить объем пирамиды с вершинами: А(-1, 1, -2), В(-2, 1, 2), С(-3, 2, -2), D(-1, 3, 0).

9. Вычислить объем пирамиды с вершинами: А(-2, -1, 1), В(-3, -1,5), С(- 4, 0, 1), D(-2, 1, 3).

10. Вычислить объем пирамиды с вершинами: А(1, -2, 1), В(0, -2, 5), С(-1, -1, 1), D(1, 0, 3).

11. Даны | |= , | |=4, . Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны | |=3, | |= , . Найти .

13. Даны | |=2, | |=3, . Найти косинус угла между векторами ( +3 ) и ( - ).

14. Даны | |=5, | |= , . Найти синус угла между векторами и .

16. Даны | |=4, |b|=2, . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

17. Даны | |=7, |b|=3, . Найти косинус угла между векторами -2 и 2 + .

18. Найти разложение вектора =(-2; 4; 7) по векторам =(0; 1; 2), =(1; 0; 1), =(-1; 2; 4).

19. Найти разложение вектора =(6; 12; -1) по векторам =(1; 3; 0), =(2; -1; 1), =(0; -1; 2).

20. Найти разложение вектора =(1; -1; 4) по векторам =(2; 1; -1), =(0; 3; 2), =(1; -1; 1).

21. Найти разложение вектора =(-9; 5; 5) по векторам =(4; 1; 1), =(2; 0; -3), =(-1; 2; 1).

22. Найти разложение вектора =(-5; -5; 5) по векторам =(-2; 0; 1), =(1; 3; -1), =(0; 4; 1).

23. Найти разложение вектора =(13; 2; 7) по векторам =(5; 1; 0), =(2; -1; 3), =(1; 0; -1).

24. Найти разложение вектора =(-19; -1; 7) по векторам =(0; 1; 1), =(-2; 0; 1), =(3; 1; 0).

25. Проверить, коллинеарны ли векторы = 2 +4 и =3 - , если =(1; -2; 3), =(3; 0; -1).

26. Проверить, коллинеарны ли векторы = +2 и =3 - , если =(1; 0; 1), =(-2; 3; 5).

27. Проверить, коллинеарны ли векторы = 5 +3 и =2 - , если =(-2; 4; 1), =(1; -2; 7).

28. Проверить, коллинеарны ли векторы = 4 +3 и =8 - , если =(1; 2; -3), =(2; -1; -1).

29. Проверить, коллинеарны ли векторы = -2 + и =3 -2 , если =(3; 5; 4), =(5; 9; 7).

30. Проверить, коллинеарны ли векторы = + и =2 +4 , если =(1; 4; -2), =(1; 1; -1).

31. При каких значениях α и β векторы и коллинеарны?

32. Проверить, лежат ли точки на одной прямой а) А(4;4;3); В(1;-2;0); С(-1;-6;-2);

б) А(2;1;1); В(1;-1;-3); С(3;3;5).

33. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,-3) и В(2,-1).

34. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,3) и В(2,2).

35. Определить площадь треугольника, образованного прямой y = - 0,5x + 2 с осями координат.

36. В треугольнике АВС, где А(4,-1), В(2,3), С(-4,-3), написать уравнение медианы, проведенной из точки А.

37. В треугольнике АВС, где А(-13,3), В(-1,-2), С(2,2), написать уравнение высоты, проведённой из точки А.

38. В треугольнике АВС, где А(0,4), В(2,-6), С(-4,2), написать уравнение средней линии, параллельной ВС.

39. Найти точку пересечения диагоналей четырёхугольника АВСД, если А(0,6), В(7,12), С(6,2), Д(2,2).

40. Даны вершины треугольника АВС: А(-3, 1), В(0, 4), С(2, 5). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины С к стороне АВ.

41. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

42. Даны вершины треугольника АВС: А(4, -2), В(3, -1), С(2, 6). Написать уравнение средней линии Δ АВС, параллельной стороне АС.

43. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y-3=0 (AB), y-2x=0 (AC), x-y-1=0 (BC). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

44. Даны вершины четырехугольника A(0, 6), B(7,12), C(6, 2), D(2, 2). Найти точку пересечения его диагоналей.

45. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 4), В(-3, 2), С(2, 6). Написать уравнение медианы, проведенной из точки В.

46. Даны вершины треугольника АВС: А(2, 4), В(-2, 5), С(-1, 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

47. Даны вершины трапеции A(-2,-3), B(-3, 1), C(7, 7), D(3, 0). Написать уравнение средней линии трапеции.

48. В треугольнике MNP написать уравнение медианы, проведенной из вершины М, если известно, что М(4, -1), N(2, 3), P(-4, -2).

49. Стороны треугольника лежат на прямых: x-y=-2 (AB), x+y=1 (BC), x-2y=1 (AC). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

50. Даны вершины треугольника АВС: А(-3, 1), В(0, 4), С(2, 5). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины С к стороне АВ.

51. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

52. Даны вершины треугольника АВС: А(4, -2), В(3, -1), С(2, 6). Написать уравнение средней линии Δ АВС, параллельной стороне АС.

53. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y-3=0 (AB), y-2x=0 (AC), x-y-1=0 (BC). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

54. Даны вершины четырехугольника A(0, 6), B(7,12), C(6, 2), D(2, 2). Найти точку пересечения его диагоналей.

55. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 4), В(-3, 2), С(2, 6). Написать уравнение медианы, проведенной из точки В.

56. Даны вершины трапеции A(-2,-3), B(-3, 1), C(7, 7), D(3, 0). Написать уравнение средней линии трапеции.

63. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

1)

2)

3)

4)

64. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

1)

2)

3)

4)

65.Написать канонические уравнения прямой.

1)

2)

3)

4)

66.Найти точку пересечения прямой и плоскости .

1)

2)

3)

4)

67. По координатам вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ найти:

1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 6) объем пирамиды А₁А₂А₃А_4; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃:

1) А₁(4, 2, 5), А₂(0, 7, 2), А₃(0, 2, 7), А₄(1, 5, 0)

2) А₁(4, 4, 10), А₂(4,10, 2), А₃(2, 8, 4), А₄(9, 6, 4)

3) А₁(4, 6, 5), А₂(9, 6, 4), А₃(2,10,10), А₄(7, 5, 9)

4) А₁(3, 5, 4), А₂(8, 7, 4), А₃(5,10, 4), А₄(4, 7, 8)

5) А₁(10, 6, 6), А₂(-2, 8, 2), А₃(6, 8, 9), А₄(7,10, 3)

6) А₁(1, 8, 2), А₂(5, 2, 6), А₃(5, 7, 4), А₄(4,10, 9)

68. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (2;-3;5) параллельно плоскости 7 х - у - z +2=0.

69. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (0;-2;1) перпендикулярно двум плоскостям х +2 у - z +2=0 и 3у -5 z -4=0.

70. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно прямой .

71. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,3,-5) параллельно плоскости 2 х - у +3 z -20=0.