Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения




Раздел "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

1. Производной функции в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Обозначения производной: .

По определению производной:

, (1)

или, в других обозначениях:

(1)′

2. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием функции. Если существует конечный предел (1), то говорят, что функция дифференцируема в данной точке (имеет производную).

3. Основные правила дифференцирования

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций т.е.:

. (2)

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение производной второй функции на первую функцию, т.е.:

(3)

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.:

. (4)

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные, т.е.:

´ (5)

Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой:

где (6)

Таблица1.

4. Таблица производных основных элементарных функций

№п/п Производная №п/п Производная
   
   
   
   
   
   
   

 

5. Сложной функцией называется функция от функции, т.е. функция вида:

, (7)

где , ,

u ­ промежуточный аргумент, x – независимая переменная.

6. Теорема. Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.:

(8)

6. Производная от первой производной функции называется второй производной или производной второго порядка и обозначается как или .

По определению

. (9)

7. Производной n-ого порядка функции (n -й производной) называется производная от (n – 1) –ой производной:

. (10)

8. Дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции .

Обозначение дифференциала – или .

По определению

или . (11)

Можно показать, что , тогда

. (11)′

Таким образом, дифференциал функции численно равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

9. Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a,b), причем () для , то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [a, b].

Таким образом, знак производной позволяет определить, возрастает или убывает функция в заданном интервале:

если (функция возрастает); (14)

если (функция убывает). (15)

10 Экстремумами называют локальные максимумы и минимумы функции.

11. Теорема. Н еобходимый признак существования экстремума. Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

12. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются стационарными (или критическими) точками производной.

13. Теорема. Первый достаточный признак существования экстремума. Если в точке x = x0 производная функции равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то точка x0 является точкой экстремума, причем:

x0 – точка максимума, если знак меняется с плюса на минус;

x0 – точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

14. Теорема. Второй достаточный признак существования экстремума. Если в точке x0 первая производная функции обращается в нуль, а ее вторая производная отлична от нуля, то в точке x0 функция достигает экстремума (минимума, если y¢¢(x0)>0, и максимума, если y¢¢(x0)<0).

15. Теорема. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции отрицательна (положительна), то кривая на этом интервале выпукла (вогнута).

16. Точка кривой, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

17. Необходимое условие существования точки перегиба. Если кривая имеет перегиб в точке , то вторая производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

18. Достаточное условие существования точки перегиба. Если в точке вторая производная обращается в нуль и меняет знак при переходе через нее, то – точка перегиба кривой .

19. Правило Лопиталя. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения при , то существует и предел отношения самих функций, равный отношению производных, т.е.:

. (16)

Замечания:

- правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа или .

- правило Лопиталя (16) справедливо и для случая, когда .

- правило Лопиталя можно применять повторно, несколько раз.

Раздел "Интегральное исчисление функции одной переменной"

1. Интегрированием называется действие, обратное дифференцированию, т.е. действие, в результате которого находится функция, производная которой равна заданной функции.

2. Функция называется первообразной для данной функции , если для любого x из области определения выполняется равенство:

, (17)

или:

. (18)

3. Множество всех первообразных для данной функции , где С принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению, неопределенный интеграл есть

= , (19)

где C – произвольная постоянная;

– первообразная для функции , т.е. функции и связаны соотношением (17): .

4. Основные свойства неопределенного интеграла.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.:

. (20)

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

. (21)

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной C, т.е.:

= . (22)

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.:

, (k ¹ 0). (23)

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например, в случае двух функций:

. (24)

Свойство инвариантности:

если = и ,

то:

= . (24)

Таблица 2.

5.Таблица основных интегралов [1]

№ п/п Интеграл № п/п Интеграл
   
   
   
   
   
   
   
   

 

6. Формула интегрирования по частям:

, (25)

где , дифференцируемые функции.

7. Определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] называется конечный предел ее энной интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначают символом .

По определению:

. (26)

где – подынтегральная функция;

x – переменная интегрирования;

число – нижний предел интегрирования;

число b – верхний предел интегрирования;

– отрезок интегрирования.

7. Формула Ньютона-Лейбница:

. (27)

где: есть какая-либо первообразная для подынтегральной функции [2].

8. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

. (28)

где , функции, имеющие непрерывные производные на отрезке .

9. Метод замены переменной (метод подстановки) для вычисления определенного интеграла выражается формулой

, (29)

где: ;

, .

10. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные .

Символическая запись дифференциального уравнения:

. (30)

11. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

12. Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция:

, (31)

зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любых значениях .

13. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных:

. (32)

14. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

15. Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Если в уравнении функция и ее частная производная y непрерывны в некоторой области D, содержащей точку 0, у0), то существует, и притом единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее условию:

(33)

Условие (33) есть начальное условие для дифференциального уравнения первого порядка.

Таким образом, теорема Коши утверждает, что существует, и притом единственное, решение задачи Коши.

3. Примерный вариант контрольной работы №2

 

Задание № 1
по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

1. Найти пределы функции при различных значениях a (не применяя правила Лопиталя):

y = ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1). ;

2).

3. Вычислить y' в точке x0 :

; x0 = – 5.

4. Найти экстремумы функции:

.

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y на отрезке
[– 4, 4]:

.

6. Вычислить , если:

y = ; ɑ = – 5.

 

Задание № 2
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"

1. Вычислить неопределенный интеграл:

.

2. Вычислить неопределенный интеграл:

.

3. Вычислить неопределенный интеграл:

.

4. Вычислить определенный интеграл:

.

5. Вычислить определенный интеграл

.

6. Вычислить определенный интеграл:

.

7. Решить дифференциальное уравнение:

.

8. Решить задачу Коши:

.

 

4. Решение примерного варианта КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

Задание № 1
по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

Задача 1. Найти пределы функции при различных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):

y = ; ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ ® ¥.

Решение

1. Рассмотрим случай, когда ɑ = 2.

Вычислим предел, пользуясь теоремами о пределах:

.

2. Рассмотрим случай, когда ɑ = 1.

При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что мы имеем неопределенность типа и вычисление предела называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выполним тождественные преобразования – разложим числитель и знаменатель на множители:

;

.

Сократим дробь на общий множитель ­ скобку

.

Функции и совпадают при всех значениях х, отличных от 1 (в окрестности точки х = 1), следовательно, их пределы при равны:

.

3. Рассмотрим случай, когда ɑ ® ¥.

Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при , т.е. мы имеем неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на :

.

Ответ: 1/6; 0; 1.

Задача 2. Вычислить производную функций:

1). ;

2). .

Решение

1. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования (см.формулы (2) – (6)) и таблицей производных для основных элементарных функций (см. таб.1):

.

2. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования, таблицей производных и теоремой о дифференцировании сложной функции (8):

Ответ: 1) ; 2) .

Задача 3. Вычислить y' в точке x0:

; x0 = – 5.

Решение

1. Пользуясь правилами дифференцирования ((2) – (6)), найдем производную, как функцию от х:

=

= .

2. Вычислим производную в точке x0 = 5.

.

Ответ: .

Задача 4. Найти экстремумы функции .

Решение

1. Найдем производную функции

.

2. Производная существует при любых значениях х. Найдем критические точки производной из условия :

.

Решив квадратное уравнение

,

получим две критические точки , .

3. Определим знаки производной слева и справа от критических точек.

Промежуток (– , 2) (2, 4) (4, )
Знак + +
Функция

Знак производной меняется в критических точках , , следовательно, функция имеет в этих точках экстремумы, а именно: функция имеет максимум в точке (знак меняется с + на –) и минимум в точке (знак меняется с – на +).

4. Определим значения функции в точках минимума и максимума, т.е. в точках , .

;

.

Ответ: , .

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [– 4, 4].

Решение

1.Найдем экстремумы функции, лежащие внутри отрезка [– 4, 4].

Производная функции

.

Решив уравнение

,

найдем критические точки

, .

Вычислим значения функции в критических точках

; .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [– 4, 4].

; .

3. Сравнивая вычисленные значения функции, находим, что наибольшее значение функции на отрезке [– 4, 4] равно 40 и достигается в критической точке , а наименьшее значение равно –41 на конце отрезка, в точке .

Ответ: ; .

Задача 6. Вычислить предел , если:

y = ; ɑ = – 5.

Решение

При числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа и мы можем применить правило Лопиталя (16).

Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Ответ: .

Задание № 2
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Для вычисления интеграла, воспользуемся свойствами неопределенного интеграла ((20) – (24)) и таблицей интегралов (см. таб.2), предварительно представив подынтегральную функцию в виде суммы трех функций:

.

Прежде, чем записать ответ, целесообразно сделать проверку. Производная полученной в результате интегрирования функции должна быть равна подынтегральной функции, т.е. должно выполняться
соотношение (17).

Проверка: .

Ответ: .

Задача 2. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение

1. Первый способ. Воспользуемся свойством инвариантности (24). Для этого предварительно вычислим дифференциал . Тогда и окончательно получим

2. Второй способ. Используем метод замены переменной (метод подстановки). Введем новую переменную

.

Вычислим дифференциал

,

тогда:

,

.

Вернемся к старой переменной (сделаем обратную подстановку)

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задача 3. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение

Заметим, что в исходном интеграле

,

тогда, внося функцию под знак дифференциала, получим

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задача 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение

Вычислим определенный интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница (27):

.

Подставляя пределы интегрирования, получим

.

Ответ: 9.

Задача 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

1. Найдем неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.

В формуле интегрирования по частям (25)

положим

; .

тогда

; ,

.

Применим интегрирование по частям к последнему интегралу:

.

Таким образом,

,

откуда окончательно получим

.

2. Вычислим исходный определенный интеграл, подставляя пределы интегрирования в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница (27):

Ответ: .

Задача 6. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Используем метод замены переменной (29). Введем новую переменную:

,

вычислим

.

Определим новые пределы интегрирования из равенства :

при x = 1 получим ,

при x = 2 получим .

Меняя переменную и вычисляя интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница (27), получим:

.

Ответ: .

Задача 7. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

Исходное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, выполняя следующую последовательность действий:

1. Представим в исходном уравнении производную в виде :

.

2. Умножим обе части уравнения на :

3. Разделим переменные, поделив обе части уравнения на :

.

4. Проинтегрируем обе части уранения:

,

 

[3]

Преобразуем полученное ввыражение

,

,

откуда получим общее решение уравнения:

Ответ: .

Задача 8. Решить задачу Коши:

;НУ: у (0) = –3.

Решение

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Так как уравнение является простейшим, то его решение находится интегрированием функции, стоящей в правой части уравнения:

.

2. Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее частному решению дифференциального уравнения, подставляя в общее решение начальное условие у = –3, х = 0:

.

3. Запишем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для этого подставим найденное значение произвольной постоянной С= –3 в общее решение уравнения:

.

Сделаем проверку:

.

Ответ: .

ВАРИАНТЫКОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ ЗАЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ВАРИАНТ № 1

Задание № 1

1. Найти пределы функции при различных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):

y = ɑ = 2; ɑ = 3; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1). ;

2). .

3. Вычислить y' в точке x0 :

; x0 = 5.

4. Найти экстремумы функции:

.

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y на отрезке [0, 7]:

6. Вычислить , используя правило Лопиталя:

; ɑ = 1.

 

Задание № 2

1. Вычислить неопределенный интеграл

2. Вычислить неопределенный интеграл

3. Вычислить неопределенный интеграл .

4. Вычислить определенный интеграл

5. Вычислить определенный интеграл

6. Вычислить определенный интеграл

7. Решить дифференциальное уравнение

8. Решить задачу Коши: , .

ВАРИАНТ № 2

Задание № 1

1. Найти пределы функции при различных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):

ɑ = 0; ɑ = 2; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1).

2).

3. Вычислить y' в точке x0 :

; x0 = – 5.

4. Найти экстремумы функции:

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y на отрезке [2, 5]:

6. Вычислить



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: