I. Цели и задачи занятия
1. Выработать навыки исследования непрерывность функций к вычислению пределов и уметь классифицировать точки разрыва.
2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.
3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.
II. Расчет учебного времени
Содержание и порядок проведения занятия | Время, мин |
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ | |
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы: | |
1. Непрерывность функции. | |
2. Исследование непрерывности функций. | |
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
III. Учебно-материальное обеспечение
Классная доска, раздаточный материал.
IV. Методические материалы
К проведению практического занятия
Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.
Первый учебный вопрос (20 мин).
Непрерывность функции.
При изложении первого учебного вопроса следует напомнить курсантам понятие непрерывной функции в точке, точек разрыва, их классификацию.
Определение 1: Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Данное равенство означает выполнение трех условий:
1) функция определена в точке и в ее окрестности;
2) функция имеет предел при ;
3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство .
Определение 2: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и выполняется неравенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1. Функция определена в окрестности точки , но определена в самой точке .
2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при .
3. Функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке : .
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:
а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;
б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
Основные теоремы о непрерывных функциях:
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
3. Если функция непрерывна и строго монотонна на оси Ox, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси Oy.
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Второй учебный вопрос (60 мин)