Решения непереходных механик

Сегодня мы запачкаем руки самой что ни на есть математичной математикой, с которой мы до этого сталкивались, по мере необходимости одалживая некоторые инструменты то у алгебры, то у линейной алгебры, а то и теории игр. В процессе мы поймем, как находить решения непереходных механик, чтобы узнать, как они работают в наших играх и что мы можем ожидать от игрока-эксперта.

Что в данном случае подразумевается под «решением»? Это не может быть кривая стоимости, потому что каждый вариант иногда выигрывает, а иногда – проигрывает. Вместо этого это соотношение того, насколько часто вы выбираете каждый доступный вариант, и того, насколько часто вы ожидаете, что противник выберет каждый из своих вариантов. К примеру, сбор армии, на 30% состоящей из лучников, на 50% — из пехоты, и на 20% — из летающих бойцов (или 3:5:2) может быть решением к непереходной игре с этими юнитами (при определенных условиях).

Возможно, вы, как гейм-дизайнер, захотите, чтобы некоторые игровые объекты использовались чаще или реже других, и, изменяя относительную стоимость и доступность каждого из этих объектов, вы можете изменить оптимальный набор объектов, используемых игроком. Разрабатывая игру специально с таким расчетом, чтобы больше всего использовались те или иные стратегии, вы, конечно, заранее будете знать, как приблизительно будет развиваться игра. К примеру, вы можете захотеть, чтобы определенные вещи происходили редко во время обычной игры, но чтобы, если уж они происходят, пусть это будет крайне примечательно (можно даже сказать, зрелищно). И, если вы понимаете, как ваши расходы влияют на относительные частоты, вы можете намеренно создать игру именно такой (или, если уже на стадии тестирования игроки используют что-то одно чаще, чем другое, такой анализ может пролить свет на причины такого поведения).

Да какая разница?

Стоит спросить: если все игры с непереходной механикой всего лишь продвинутые версии «Камень-Ножницы-Бумага», в чем их привлекательность? Немногие играют в «Камень-Ножницы-Бумага» для удовольствия, так зачем им играть в игру, которая использует такую же механику, лишь немного ее маскируя?

Во-первых, непереходная игра как минимум более интересна, чем игра с единственной доминирующей стратегией («Камень-Камень-Камень»), потому что там хотя бы есть разнообразие. Во-вторых, непереходная механика, примененная в большой игре, может позволять игрокам изменять или модифицировать их стратегии в миттельшпиле. Наблюдая за тем, что в данный момент (в реальном времени) делают другие игроки, пользователи могут делать определенные выборы, особенно в экшн-играх, где нужно реагировать на реакцию противника на вашу реакцию на его действия в течение нескольких миллисекунд.

В играх с блефом игроки могут принимать решения, основанные на том, что, по их наблюдениям, ранее делали другие игроки, и пытаться предсказать дальнейшие шаги других, что особенно интересно в играх, где информация дается не вся и не сразу (к примеру, в покере). Так что, надеюсь, вы понимаете, что, если в игре присутствует непереходная механика, эта игра вовсе не обязательно такая же скучная, как «Камень-Ножницы-Бумага».

К тому же, непереходные механики служат своего рода стоп-краном для вышедших из-под контроля доминантных стратегий. Даже если вы точно не знаете, какую стратегию лучше всего выбрать для своей игры, если во всех стратегиях есть непереходные взаимоотношения, вы, как минимум, будете знать, что единственной доминантной стратегии, которая сведет на нет все остальные, не будет. А все потому, что эта стратегия будет проигрывать как минимум одной контр-стратегии. Даже если сама игра несбалансирована, непереходные механики допускают поправку в метаигре – хотя это и не лучшее, на что можно полагаться, забыв о прочих факторах (если вы так и поступили, значит, вы очень ленивый дизайнер). Но лучше уж иметь подстраховку, выпуская игру, где крупные изменения в игровом балансе крайне сложно внести после релиза.

Так что, если я смог убедить вас, что непереходные механики стоит включить хотя бы в некоторые игры, приготовьтесь учиться решать их!

Решение стандартной КНБ

Давайте начнем с того, что решим стандартную игру КНБ (камень-ножницы-бумага), чтобы посмотреть на принцип ее работы. Поскольку любая фигура теоретически хороша, мы можем ожидать, что соотношение будет 1:1:1, что означает, что вы одинаково часто будете выбирать каждую фигуру. И так оно и получится, но важно понимать, как мы дошли до этого, чтобы мы смогли решать более сложные задачи в дальнейшем.

Для начала давайте взглянем на результаты. Давайте обозначим фигуры противника буквами «к», «н», «б», а наши – «К», «Н», «Б» (нам достались прописные буквы, потому что они клевые). Поскольку выигрыш и проигрыш одинаково вероятны и противоположны друг другу (таким образом, один выигрыш и один проигрыш взаимонейтрализуются), а ничья – где-то посередине, давайте обозначим выигрыш «+1», проигрыш — «-1», а ничью – «0» очков. Математический подход был бы применим здесь к любым числам, но так будет проще. Теперь сконструируем таблицу результатов:

Конечно, это с нашей точки зрения – например, если мы выбросим (к)амень, а противник – (н)ожницы, мы выиграем и добавим +1 к нашему счету. У противника же таблица будет выглядеть ровно противоположным образом.

А теперь давайте немного переиграем это все и назовем «к», «н» и «б» вероятностями, которые будет создавать противник при каждой соответствующей фигуре. К примеру, предположим, что вы заранее знаете, что ваш противник использует стратегию, где «к» равен 0,5, «б» равна «н», которые равны 0,25 (то есть на каждые Ножницы или Бумагу он два раза выбрасывает Камень). Какова наилучшая контр-стратегия?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем вывести систему из трех уравнений, которая укажет ваши выигрыши для каждой из трех фигур:

>> Выигрыш для К = 0к + (-1)б + 1н = н-к

>> Выигрыш для Б = 1к + 0б + (-1)н = к-н

>>Выигрыш для Н = (-1)к + 1б + 0н = б-к

Так что, основываясь на вероятностях, вы можете просчитать выигрыши. В случае нашего упрямого противника выигрыши будут следующие: К=0, Б=0,25, Н=-0,25. Поскольку из всех троих именно при Б лучший выигрыш, предположим, что противник вообще не меняет свою стратегию, и что лучше всего в качестве контр-стратегии нам выбрасывать Бумагу каждый раз. Мы ожидаем, что она будет набирать 0,25 за бросок – таким образом, мы победим на один раз больше, чем проиграем, в течение четырех раундов. По сути, мы обнаружим, что, если наш противник просто выбрасывает камень чуть-чуть чаще, чем все остальные фигуры, чистый выигрыш при Б будет лучше, чем при других фигурах, и нашей лучшей стратегией все еще остается выбрасывание Бумаги 100% времени, пока наш противник не изменит тактику. Это важно, поскольку этот факт говорит нам о том, что интранзитивная механика – штука очень хрупкая, и что даже самый незначительный дисбаланс со стороны игрока может привести к доминантной стратегии его противника.

Конечно, если мы играем с человеком, который заметит, что мы всегда выбрасываем Б, он может начать выбрасывать больше н, что, в свою очередь, заставит нас выбрасывать больше К, а его – больше б, из-за чего мы начнем выбрасывать Н, а противник начнет в ответ выбрасывать к, и так далее, и так далее… Если мы оба постоянно подстраиваем свои стратегии под действия друг друга, дойдем ли мы когда-либо до момента, где мы просто делаем все, что в наших силах? Будем ли мы со временем стремиться к некоему стабильному состоянию?