Квадратные уравнения с параметрами




Линейные уравнения с параметрами

Линейное уравнение - это уравнение вида а·х=b

Решение этого уравнения зависит от значения а

1) Если а=0, то

· если b=0, то 0х=0, следовательно, хϵR;

· если b≠0, то 0х≠0, следовательно, уравнение не имеет решений.

2) Если а≠0, то - единственный корень.

Пример 1:

Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2

1) 2а(а-2)=0

а=0 или а=2

Если а=0, то 0х=-2, то есть уравнение не имеет корней;

если а=2, то 0х=0, то есть хϵR.

2) 2а(а-2)≠0, то есть а≠0 и а≠2

;

Ответ: при а=0 уравнение не имеет корней;

при а=2 хϵR;

при аϵR∖{0;2} .

 

Пример 2:

Решите уравнение 2-2а+1)х = а2+2а-3

Преобразуем уравнение в вид -1)2 х = (а+3)(а-1)

1) (а -1)2 =0

а=1

Если а=1, то 0х=0, хϵR.

2) (а -1)2 ≠ 0

а ≠ 1

Если а ≠ 1,то ; .

Ответ: при а=1 хϵR;

при а ≠ 1 .

 

Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным

Дробно-рациональное уравнение - уравнение вида f(x)=g(x)

, где

Пример 1:

D(y):

Выполним необходимые преобразования для приведения уравнения к целочисленному виду, получаем:

3ах-5 = (2а+1)(х+3) - 5(а+2)(х-3)

Тогда (6а+9)х=21а+38 - конечный вид линейного уравнения с параметром а

1) 6а+9=0

а= 1,5

Если а=1,5, то 0х= 6,5, то есть уравнение не имеет корней.

2) 6а+9≠0

а≠ ­­ 1,5

Если а≠ 1,5, то .

3) Узнаем значение параметра а при х=3 и х= 3

если х=3, то , тогда 18а+27=21а+38, т.е. а =

если х=-3, то , тогда -18а-27=21а+38, т.е. а =

Ответ: при аϵ{1,5; ; ; } уравнение не имеет корней;

при аϵR∖{1,5; ; } .

Пример 2:

Решите уравнение:

D(y):

Данное уравнение запишем в виде

1) а² = 0

а=1, а=

Если а=1, то 0х=0, хϵR;

если а=-1, то 0х=-2, то есть уравнение не имеет действительных корней.

2) а² ≠ 0

т.е. а≠1, а≠

Если аϵR∖{ 1; 1}, то ; ; .

3) Узнаем значение параметра при х=1

если х=1, то , тогда а+1 = а+2, т.е. нет такого а.

Ответ: при а=-1 уравнение не имеет корней;

при а=1 хϵR∖{1};

при аϵR∖{-1;1}, .

Пример 3:

Решите уравнение:

D(y):

Запишем уравнение в виде (х+3)(а²+2а-8)=3(а+4)(а+1)

(х+3)(а+4)(a-2)=3(а+4)(а+1)

x(a+4)(a-2)+3(a+4)(a-2)=3(a+4)(a+1)

a(a+4)(a-2)=3(a+4)(a+1-a+2) (а+4)(а-2)х=9(а+4)

1) (а+4)(а 2) =0

а= 4, а=2

Если а= 4, то 0х=0, следовательно хϵR;

если а=2, то 0х=54, следовательно уравнение не имеет корней.

2) (а+4)(а 2) ≠0

а≠ 4, а≠2

Если аϵR∖{-4;2}, то ; .

3) Узнаем значение параметра при х=-3

если х=-3, то .

Ответ: при аϵ{ 1;2} уравнение не имеет корней;

при а= 4 хϵR∖{3};

при аϵR∖{ 4; 1;2} .

 

Пример 4:

Решить уравнение относительно параметра a

Преобразуем уравнение

D(y):

В результате ряда преобразований получаем

4(а+3)х=8-5а - вид уравнения, наиболее удобный для использования.

1) 4(а+3)=0

а= 3

Если а= 3, то 0х= 23, т.е. уравнение не имеет корней.

2) 4(а+3)≠0

а≠ 3

Если а≠ 3, то .

3) Узнаем значения параметра а при х= 1 и х=2

Если х=-1, то , тогда 8 5а= 12, то есть а=20;

если х=2, то = 2, тогда 8а+24=8-5а, то есть а= .

Ответ: при аϵ{ 3; ; 20} уравнение не имеет корней;

при аϵR∖{-3; ; 20} .

Пример 5:

Решите уравнение

D(y):

Запишем уравнение в виде а²(х 1)+5а(х+1)=5(а 5)

a²x a²+5ax+5a=5a 25

ax(a+5)=a² 25

аx(а+5)=(а 5)(а+5)

1) а(а+5)=0

а=0, а= 5

Если а =0, то 0х= 25, т.е. уравнение не имеет корней;

если а= 5, то 0х=0, то есть хϵR.

2) а(а+5)≠0

а≠0, а≠ 5

Если аϵR∖{ 5;0}, то ; .

3) Узнаем значение параметра а при х=0

Если х=0, то , тогда а 5=0, а=5.

Ответ: при аϵ{0;5} уравнение не имеет корней;

при а=-5 хϵR∖{0};

при а ϵR∖{-5;0;5} .

 

Задания для тренировки:

Решить и исследовать уравнения с параметром:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Квадратные уравнения с параметрами

Квадратное уравнение - это уравнение вида

Решение этого уравнения зависит от значения а и дискриминанта.

1)Если а=0, то исходное уравнение превращается в линейное вида

2)Если а≠0, то вычисляем дискриминант D, где

(Также, если b четное, можно использовать где

· если D>0, то уравнение имеет два различных корня: х₁= , х₂= ;

· если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня х₁,₂= ;

· если D<0, то уравнение не имеет корней.

Пример 1:

Решим и исследуем уравнение ах2 –(1-2а)х+а-2 =0

1) а=0

х 2=0

х= 2

2) а≠0

Если D<0, то есть 1+4а<0, а< 0,25, то уравнение не имеет корней;

если D=0, то есть 1+4а=0, а= 0,25, то х₁,₂= = 3;

если D>0, то есть 1+4а>0, а> 0,25, то х₁,₂= .

Ответ: при а=0 х= 2;

при а< 0,25 нет корней;

при а= 0,25 х₁,₂=

при а∊( 0,25;0)⋃(0;+∞) х₁,₂= .

Пример 2:

Исследовать и решить уравнение с параметром

Коэффициент при х² равен 1, поэтому сразу найдем дискриминант

Если D<0, то есть (а 2)(а+2)<0, аϵ( 2;2), то уравнение не имеет корней;

если D=0, то есть (а 2)(а+2)=0, аϵ{ 2;2}, то х₁,₂= ,

т.е. при а= 2 х= 2, при а=2 х=0;

если D>0, то есть (а 2)(а+2)>0, аϵ( ∞; 2)∪(2;+∞), то х₁,₂= .

Ответ: при аϵ( 2;2) нет корней, при а= 2 х= 2;

при а=2 х=0;

при аϵ( ∞; 2)∪(2;+∞) х₁,₂= .

Пример3:
Исследовать и решить уравнение с параметром

1) а+20=0

а 20

2) а+20≠0

а≠ 20

Если D<0, то есть то уравнение не имеет корней;

если D=0, то есть то х₁,₂= ,

т.е. при а 11 , при а=5 ;

если D>0, то есть то х₁,₂= .

Ответ: при а 20 при а ϵ ( 11;5)нет корней;

при а=-11 ;

при а=5 ;

х₁,₂= .

 

 

Пример 4:

Исследовать и решить уравнение с параметром

1) а

а 3

.

2) а+3≠0

а≠ 3

Если D<0, то есть то уравнение не имеет корней;

если D=0, то есть то х₁,₂= ,

т.е. при а=0,2 х=0,25, при а=1 х=0,5;

если D>0, то есть то х₁,₂= .

Ответ: при а 3 ;

при нет корней;

при а=0,2 х=0,25;

при а=1 х=0,5;

при х₁,₂= .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: