Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

Приведем решения первых трех задач, указанных в задании.
Задача 1.
1. По условию, уравнение имеет вид: 25 x ² – 36 y ² – 50 x – 72 y + 3589 = 0.
2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых.
3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду:
25(x ² – 2 x) – 36(y ² + 2 y) + 3589 = 0;
25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3589 + 25 – 36;
25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3600;
.
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X′O′Y′:

; ­ ­ ­

(7.12)

Тогда наше уравнение примет вид

(7.13)

Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК ­ X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX.
5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы.
Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12.
Расстояние от центра до фокуса .
Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК ­ X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК ­ XOY.
a)
Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК ­ XOY будут (1,–1).
b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y': x' = 0 и мнимую ось – ось O'X': y' = 0. С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично, уравнение мнимой оси: y = –1.
с) Вершины:
В системе X'O'Y'
, ­ ­ где ­ ­ ;
, ­ где ­ ;
отсюда, в системе XOY, A ₁ (X ₁, Y ₁) = A ₁(1; –11), A ₂(X ₂, Y ₂) = A ₂(1; 9).
d) Фокусы. В системе X'O'Y':


Отсюда в системе XOY: ­ F ₁(–1; –16,6); ­ F ₂(1; 14,6).
e) Директрисы.


­ L ₁­: ­ y = –7,4; ­ ­ ­ L ₂: y = 5,4.
f) Асимптоты.
.
x – 1,2 y – 2,2 = 0.
.
x + 1,2 y + 0,2 = 0.
­ Γ ₁­: ­ x – 1,2 y – 2,2 = 0; ­ ­ ­ ­ Γ ₂­: ­ x + 1,2 y + 0,2 = 0.
7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой	25 x 2 – 36 y 2 – 50 x – 72 y + 3589 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса)
Название кривой	Гипербола
Полуоси	Действительная полуось a = 10 Мнимая полуось b = 12
Расстояние от центра до фокуса
Эксцентриситет
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')	;

8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.

Рис. 7.4 Гипербола

Задача 2.
1. По условию уравнение имеет вид
y ² – 16 x + 6 y – 23 = 0.
2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу.
3. Выделим полный квадрат:
(y ² + 6 y + 9) = 16 x + 23 + 9; ­ (y + 3)² = 16(x + 2).
4. Перейдем к новой ДПСК ­ X'O'Y'

­ ­

(7.14)

тогда наше уравнение примет вид: (y')² = 16 x'.
5. Найдем параметр: 2 p = 16, ­ p = 8.
6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых:
а) Вершина ­ ­ (См. (14)). ­ ­ O' (–2; –3).
b) Уравнение оси: ­ y' = 0, ­ y + 3 = 0, ­ т.е. ­ y = –3.
c) Координаты фокуса F (p /2,0):
F (2, –3).
d) Уравнение директрисы: ­ z: ­ X' = –p/2; ­ ­ X' = –4; ­ ­ X + 2 = –4 ­ ­ или ­ ­ X = –6.

Сводка полученных результатов

Данное уравнение	y 2 – 16 x + 6 y – 23 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса).	(y')2 = 16 x'
Название кривой	Парабола
Параметр	p = 8
Эксцентриситет	ε = 1
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')

8. На рисунке 7.5 изображена парабола.

Рис. 7.5 Парабола

Задача 3.
1. По условию уравнение имеет вид:
2 x ² + 3 y ² – 12 x + 6 y + 21 = 0.
2. Так как A · B = 2 · 3 > 0, то уравнение эллиптического типа (см. 1, п. 1.1), следовательно, оно может определять либо эллипс, либо пустое множество (мнимый эллипс), либо точку.
3. Выделим полные квадраты:
2(x ² – 6 x + 9) + 3(y ² + 2 y + 1) – 18 – 3 +21 = 0;
2(x – 3)² + 3(y + 1)² = 0.
Точка с координатами (3, –1)
Замечание. Мы ограничились разбором решения только трех задач, однако это дает представление о выполнении работы в целом.