Логарифмические уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства с одной переменной

Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Например:

- уравнение обращается в верное числовое равенство при . Ответ: .

- уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

Решить неравенство – это значит найти множество всех значений неизвестного или доказать, что их нет.

Например:

- неравенство обращается в верное при любом . Ответ: .

- двойное неравенство не имеет общих решений для . Ответ:

Степенные уравнения и неравенства

(повторение)

- - это уравнения и неравенства вида , где неизвестное в основании степени.

Линейные уравнения и неравенства

Решить уравнение:

Решить неравенство:

Квадратные уравнения и неравенства

Способ решения известен. Решить самостоятельно следующие примеры.

Решить уравнения: а)

б)

в)

Решить неравенства: а)

б)

в)

Иррациональные уравнения и неравенства

- это уравнения и неравенства содержащие неизвестное под знаком корня.

Способ решения иррациональных уравнений и неравенств:

1) определить ОДЗ (область допустимых значений) подкоренного выражения;

2) возведение в квадрат обе части уравнения или неравенства, чтобы избавиться от квадратного корня.

Решить уравнение

ОДЗ:

Возводим в квадрат обе части уравнения:

;

Решаем уравнение

;

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

Решить неравенство

ОДЗ: , тогда

Возводим в квадрат обе части неравенства:

Объединяем ОДЗ и неравенство в систему и решаем её:

Ответ:

Показательные уравнения и неравенства

- это уравнения и неравенства вида , где неизвестное в показателе степени.

Способ решения показательных уравнений и неравенств:

1) привести обе части уравнения или неравенства к одинаковому основанию степени.

2) для уравнения: при равенстве оснований приравнять показатели степени;

для неравенств: а) для основания записать неравенство для показателей степени, не изменяя знак неравенства; б) для основания записать неравенство для показателей степени, изменяя знак неравенства.

Решить показательные уравнения:

а)

Приводим к одинаковому основанию

Основания равны, - приравниваем показатели степени Ответ:

б)

Приводим к одинаковому основанию

Применяем правила действий со степенями

Основания равны, - приравниваем показатели степени

Ответ:

в)

Приводим к одинаковому основанию

Основания равны, - приравниваем показатели степени Ответ:

Решить показательные неравенства:

а)

Приводим к одинаковому основанию

Основания равны, - записываем неравенство для показателей степени. Так как

, то знак неравенства не меняется Ответ:

б)

Приводим к одинаковому основанию

Основания равны, - записываем неравенство для показателей степени. Так как

, то знак неравенства меняется Ответ:

Действительно, например, при

получаем

- верно!

Логарифмические уравнения и неравенства

Способ решения логарифмических уравнений и неравенств:

1) привести левую и правую часть уравнения к логарифмам с одинаковым основанием, применяя следующие свойства логарифма:

а) замена единицы

б) замена нуля

в) логарифм степени

2) записать область допустимых значений (ОДЗ) для выражений, стоящих под знаком логарифма;

3) далее для уравнений: при равенстве оснований логарифмов приравнять подлогарифмические выражения; для неравенств: а) с основанием логарифмов записать неравенство для подлогарифмических выражений, не изменяя знак неравенства; б) с основанием логарифмов

записать неравенство для подлогарифмических выражений, изменяя знак неравенства.

Проверку правильности решения логарифмического уравнения можно, а проверку логарифмического неравенства не всегда возможно.

Решить логарифмическое уравнение:

Так как единицу можно заменить логарифмом с любым основанием, то

ОДЗ: , следовательно,

Применим свойство логарифма

Основания логарифмов равны, следовательно, можно приравнять подлогарифмические выражения

Ответ: .

Решить логарифмические неравенства:

а) Решить неравенство с основанием

Применим свойство логарифма

ОДЗ:

Так как основание логарифма , то при переходе к неравенству основных выражений стоящих под знаком логарифма знак неравенства не меняется. Записываем систему неравенств основных выражений и ОДЗ