Для определения силы поджатия по величине смещения, необходимо решить вспомогательную задачу без внешней нагрузки. Далее из результатов решения интегрированием по сечению получить силу поджатия при действии заданного смещения. Задача решается для нескольких значений смещения. Для смещения 0.2 мм сила поджатия составляет 5340 Н. В диапазоне смещений 0.5 мм - 0.3 мм зависимость силы поджатия от смещения линейная (рис. Ошибка! Источник ссылки не найден.). На рис. 37 представлено Y-ая составляющая напряжения.
Рис. 36 Зависимость силы поджатия от смещения. Рис. 37 Контурный график распределения Y-вой составляющей напряжения
Приложение II (методика расчета прочности в сингулярных точках, верификация методики)
Расчет коэффициента интенсивности напряжения при линейной модели материала.
При наличии особых точек, таких как острые углы, трещины либо краевые точки при жестком закреплении (как предельный случай при стремлении трещины к нулю), рассчитать напряжения в этих точках не представляется возможным из-за их сингулярности. Напряжение в этих точках растет обратно пропорционально корню от расстояния. В таких случаях, при решении задач прочности, необходимо пользоваться критерием не по среднему напряжению (sкр), а критерием по коэффициенту интенсивности напряжений (КИН).
Коэффициент интенсивности напряжений, КИН, К (Stress Intensity factor) используется линейной механике разрушения для описания полей напряжений у вершины трещины. Само определение К возникло из рассмотрения задачи о напряжениях в теле с трещиной. Поле напряжений у вершин трещины имеет сингулярность вида 
, где r — расстояние от вершины трещины до точки, напряжение в которой рассматривается; другими словами, К является мерой сингулярности напряжений в окрестности трещины. Если у двух тел с трещинами одинаковые значения К, то поля напряжений в окрестности трещины будут одинаковыми. Ирвин5 предположил, что условие начала распространения трещины можно сформулировать как условия достижения напряжениями критического значения, сформулировав тем самым силовой критерий хрупкого разрушения. Силовой критерий связывает значение К для рассматриваемого тела с трещиной с критическим значением КИН, являющимся характеристикой материала. При статическом нагружении — К1с, который получил название критического КИН или вязкости разрушения
Для линейного упруго материала напряжение и деформация в вершине трещины определяется следующим выражением
(1)
(2)
где K - КИН, r и θ - координаты в полярной системе координат(рис.71)
Рис.71 Система координат Рис.72 Тип трещины
Для трещины, образующейся путем растяжения напряжения определяются следующим образом:
(3)
(4)
(5)
Для развития трещины необходимо чтобы КИН в точке превысил свое пороговое значение для данного материала. Для простейших геометрий значение КИН выражается аналитической формулой1,2 (функцией от геометрических размеров) поэтому пороговое значение для материала можно получить из эксперимента, путем разрушения образца заданной формы под действием известной нагрузки.
Например:
Рис.73 Форма образца для определения КИН
(6)
(7)
B = 1, a = 1 - длина трещины, W = 2, P = 33.3, KI = 227.7 [Единицы давления] [Единицы длины]1/2
Кроме КИН, при расчете развития трещин используется понятие J-интеграла:
J-интеграл, Математическое выражение, линейный или поверхностный интеграл, который включает в себя фронт трещины от одной поверхности трещины до другой, используемый для характеристики вязкости разрушения материала имеющего до разрушения заметную пластичность. J-интеграл устраняет необходимость в описании поведения материала вблизи вершины трещины, рассматривая локальное распространение напряжений и деформаций вблизи фронта распространения трещины; JIc— критическое значение J-интеграла, необходимое для начала роста зарожденной трещины.
В двухмерном случае J – интеграл определяется следующим образом:
(8)
Рис.74 Контур интегрирования
W (x 1, x 2) - плотность энергии деформации
(9)
n – нормаль к контуру Г
σ – тензор напряжения
u – вектор смещения
(10)
для сжатия - растяжения 
(11)
В более общей форме:
(12)
Для изотропных, идеально хрупких, линейных упругих материалов справедливо.
(13)
Ниже в таблице приведены значения критического коэффициента интенсивности деформации для некоторых материалов:
| Материал | KIc (МПа-м1 / 2) |
| Металлы | |
| Aluminum alloy (7075) | |
| Steel alloy (4340) | |
| Titanium alloy | 44–66 |
| Aluminum | 14–28 |
| Керамика | |
| Aluminium oxide | 3–5 |
| Silicon carbide | 3–5 |
| Soda-lime-glass | 0.7–0.8 |
| Concrete | 0.2–1.4 |
| Полимеры | |
| Polymethyl methacrylate | 0.7–1.6 |
| Polystyrene | 0.7–1.1 |
Табл.1
В пакете Ansys существует возможность расчета КИН и J-интеграла с помощью встроенных функций. Для проверки методики расчета КИН рассмотрим несколько тестовых задач имеющих аналитическое решение.
Сравнение численного расчета КИН с теоретическим значением для простых геометрий
1. Прямоугольная пластина с центральной трещиной при равномерном растяжении.
Рис.75Геометрия
Рис.76 Сетка
Рис.77 Сетка вблизи вершины трещины
Задача решается в симметричной постановке, 2 плоскости симметрии: OXZ, OZY
Ширина пластины W = 10 м, длина пластины 2H = 10м, толщина пластины t = 0.25 м, ширина трещины 2a = 2 м.
Используется линейная модель материала.
Модуль Юнга: 30 МПа
Коэффициент Пуассона: 0.3
Перемещения по направлению Z ограничены. Напряжение s = 1 Па
Теоретический коэффициент интенсивности деформации имеет следующий вид:
KI th= s (pa)1/2FI,
где FI= 1.055 (зависит от геометрии)
KI th= 1.870 Па м1/2
В Ansys реализованы несколько способов расчета КИН
1) Команда KCALC. Предварительно требуется построить путь вдоль трещины
KI Ansys (KCALC)= 1.708 Па м1/2
2) Через команду CINT. Предварительно вычисляется J- интеграл, а из него уже вычисляется KI (по формуле 13)
KI Ansys (CINT) = 1.869 Па м1/2
Командой CINT J - интеграл вычисляется вдоль некоторого пути, построенного через ближайшие элементы у вершины трещины (см. рис.78). В аргументах команды необходимо задать число путей. Рекомендуется не использовать первый путь вокруг вершины трещины. В данной постановке значения интеграла вдоль 2-5 путей практически не отличается.
Рис.78 Путь для вычисления J - интеграла.
Ухудшение качества сетки (рис.79) не приводит к значительным изменениям при вычислении КИН.
Рис.79 Грубая сетка
2. Цилиндрический образец с поверхностной кольцевой трещиной при растяжении
Рис.80 Геометрия
Задача решается в симметричной постановке, 3 плоскости симметрии: OXY, OXZ, OZY
2R = 2 м, b = 1 м.
Используется линейная модель материала.
Модуль Юнга: 30 МПа
Коэффициент Пуассона: 0.3
Напряжение s = 100 Па
Рис.81 Сетка, красным отмечена вершина трещины
KI th= s (pb)1/2FI,
где FI= 0.475 (зависит от геометрии)
KI th= 238.2 Па м1/2
KI Ansys (CINT) = 247.6 Па м1/2
На достаточно грубой сетке значение КИН в Ansys совпадает c теоретическим значением с погрешностью 4 %.
3. Полоса конечной длины с поперечной краевой трещиной при чистом изгибе.
Рис.82 Геометрия
Ширина W = 5 м, толщина пластины t = 0.25 м, ширина трещины a = 1 м. М = 25 Н м
Сетка аналогична 1 задаче, но при этом симметрии уже нет (рис.83).
Рис.83 сетка
KI th= 6 М s (pb)1/2FI/(W2t)
где FI= 1.035 (зависит от геометрии)
KI th= 44.03 Па м1/2
KI Ansys (CINT)= 44.73 Па м1/2
На рис. 84 представлено сравнение численного значения KI с теоретическим для трещин различной длины.
Рис.84 Зависимость KI от длины трещины
(погрешность по сравнению с теоретическим значение не превышает 1%)
Критерий разрушения Новожилова
Другим критерием прочности является Критерий разрушения Новожилова3.
(14)
Здесь s - главное растягивающее напряжение в окрестности вершины трещины,
sc - предел прочности "бездефектного" материала.
Главной особенностью критерия является введение некоторого структурного параметра d в явном виде. Выбираем d из условия.
(15)
При этом необходимо заранее знать KIc (из результатов эксперимента) для определения пределов интегрирования. Для разных материалов этот параметр может отличаться в сотни раз. Преимуществом данного метода (по сравнению с определением КИН) является то, что нет необходимости создавать трещину конечной длины. Этот критерий работает близи любых концентраторов напряжения (трещины, малые радиусы закругления, точки с жестким закреплением). Путь интегрирования определяется следующим образом: на расстоянии d от точки интереса проводится окружность и ищется максимальное значение растягивающего напряжения. Путь проводится из точки интереса в эту точку (пользуемся приближением о постоянном направлении S1 вдоль этого пути)
Сравнение метода оценки прочности по КИН с критерием Новожилова
Сравним результаты оценки прочности по методу КИН и по критерию Новожилова для нескольких материалов с известными свойствами. Для этого рассмотрим задачу об изгибе полосы конечной длины с поперечной краевой трещиной (рис.82). Сравнение будем производить следующим методом:
1) Рассчитаем значение параметра d. Для полимербетона он равен 1 мм.
2) Исходя из величины d, построим сетку таким образом, чтобы радиус окружности обозначенной зеленым цветом (рис.85) был равен d.
Рис.85 Область интегрирования
Для любого материала это можно сделать путем масштабирования исходной модели для полимербетона.
3) Далее подбираем момент (силу) таким образом чтобы KI для трещины равнялся своему критическому значению KIc. Это легко сделать ввиду линейности задачи (решить задачу для единичной силы, вычислить коэффициент k = KIc/ KI, а потом решить задачу для силы k)
4) Находим точку (точка Б) с максимальное значение S1 на границе зеленой области. Строим путь из центра (точка А) в точку Б.
5) Вычисляем интеграл (INTS) от S1 вдоль этого пути.
6) Сравниваем INTS с пределом прочности для материала.
Ниже представлены результаты сравнения для следующих материалов:
полимербетон, сталь 20, алюминий.
| Полимербетон | сталь 20 | алюминий | |
| Модуль Юнга | 5.695e9 Па | 2.13e11 Па | 7.1e10 Па |
| Коэфф. Пуассон | 0.381 | 0.3 | 0.33 |
| Предел прочности | 2.5e7 Па | 4e8 Па | 1.15e8 Па |
| KIc | 1e6* | 1.40e8 | 1.4e7 |
| d | 1 мм | 78 мм | 9.4 мм |
| Интерграл по критерию Новожилова (INTS) | 26 914 222 Па | 428 548 791 Па | 122 992 720 Па |
| sc/INTS | 0.93 | 0.93 | 0.94 |
Табл.2
* данных о критическом значении КИН для полимербетона нет. Для схожих материалов он составляет 1-5 МПа. На Рис. 86 представлены пределы возможных изменений.
Рис.86 Зависимость d от KIC для полимербетона
Из Таблицы 2 видно, что критерий Новожилова представляет более жесткое условие целостности конструкции по сравнению с КИН (разница составляет около 10%, при KIc=KI, 
). Кроме этого его проще реализовать в задачах со сложной геометрией.
Кривая напряжение - деформация для полимербетона
В лаборатории прочности материалов Математико-механического факультета СПбГУ были измерены механические свойства образца из полимербетона.
Рис.87 Зависимость напряжения от деформации для 2-х образцов.
Литература
1) Ю. Мураками. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений, том 1
2) Ю. Мураками. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений, том 2
3) Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.
4) Ansys 14.0 Help
5) В.З. Партон. Механика разрушения, Москва, "Наука", 1990