Оценка погрешностей при прямых измерениях





МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ В ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ ПО ФИЗИКЕ

При выполнении лабораторных работ по всем разделам курса общей физики студенты осуществляют постановку тех или иных физических экспериментов. Целью указанных экспери­ментов является определение некоторых физических величин с помощью измерений. При этом существенное значение имеет точность проводимых измерений. Оценка погрешностей получен­ных результатов является, таким образом, неотъемлемой частью практически каждой экспериментальной работы. Поэтому в задачу лабораторного практикума по физике входит не только знакомство с методами и средствами измерений, но и обучение методам определения ошибок, возникающих в процессе проведе­ния измерений различными измерительными приборами.

Настоящие методические указания содержат в себе основ­ные принципы оценки погрешностей в ходе обработки результа­тов лабораторных работ, выполняемых при изучении всех трех частей курса общей физики. При этом исключительно важно привить студентам навыки правильной обработки экспериментальных данных с первого их появления в лаборатории.

Физические измерения

Физические измерения делятся на прямые и косвенные. Примерами прямых измерений могут служить измерения линей­ных размеров предметов различными измерительными инстру­ментами : линейкой, штангенциркулем, микрометром, измерения времени секундомером, измерения электрических величин (тока, напряжения) соответствующими электроизмерительными приборами.

В большинстве случаев, однако, искомую величину нель­зя получить непосредственно прямым измерением. Тогда изме­ряют некоторые другие величины, связанные с искомыми определенными соотношениями. При таких измерениях, называемых кос­венными, экспериментатор должен вычислить нужную величину, используя известные физические законы и математические фор­мулы. К косвенным относятся, например, проводимые в учебных лабораториях измерения плотности тел (работа 1.01), измере­ния ускорения движения тел (работа 1.12 ), измерения индук­ции магнитных полей (работы 2.26, 2.27, 2.28 ) и т.д.

Погрешности измерений

Любое измерение производится с какой-то степенью точ­ности. Это связано с несовершенством измерительных приборов, методики измерений, несовершенством органов человеческих чувств и т.п. При этом измеренная величина всегда отличается от ее истинного значения. Другими словами, всякое измерение характеризуется наличием ошибок - погрешностей. Во многих случаях погрешности оказываются весьма значительными. Поэто­му в задачу экспериментатора помимо измерения искомой вели­чины в обязательном порядке входит оценка погрешности полу­ченного результата. Без такой оценки результат опыта не имеет, как правило, практической ценности.

Обычно значение измеренной величины X записывают в следующем виде :

где ΔХ - абсолютная погрешность измерения, характеризую­щая отклонение измеренного значения данной величины от ее истинного значения. При этом, поскольку истинное значение остается неизвестным (т.к. в принципе нельзя осуществить абсолютно точное измерение ), можно дать лить приближенную оценку абсолютной погрешности.

Поскольку причины возникновения ошибок могут быть са­мыми разными, необходимо классифицировать погрешности, возни­кающие в ходе экспериментов. Только в этом случае возможна правильная опенка погрешности полученного результата, так как от типа погрешностей зависит и способ их вычисления.

Погрешности подразделяются на случайные и систематичес­кие.

Систематической погрешностью называют составляющую погреш­ности измерения, остающуюся постоянной или закономерно из­меняющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Случайной погрешностью называют составляющую погрешности из­мерения, изменяющуюся случайным образом при повторных изме­рениях одной и той же величины. Выделяют также погрешности приборов, которые могут иметь как систематический, так и случайный характер.

Рассмотрим некоторые причины, вызывающие появление сис­тематических и случайных погрешностей. Систематическая пог­решность может быть связана с неисправностями измерительных приборов, неточностью их регулировки, несоблюдением условий их эксплуатации и т.п. Такие погрешности возникают, например, при не совсем горизонтальном положении некоторых приборов или при использовании стрелочного прибора, у которого стрелка до начала измерений не была установлена на нуль. Заметим, что указанные погрешности не относятся к разряду приборных, кото­рые характеризуют вполне исправные и правильно эксплуатируе­мые инструменты.

Причина возникновения систематической погрешности может заключаться и в самой методике измерений. Так, например, оп­ределяя плотность твердого тела по измерениям его массы и объема, можно допустить ошибку, если внутри исследуемого тела имеются пустоты в виде пузырьков воздуха. В этом случае ус­транить ошибку можно только изменив метод измерений.

Случайные погрешности связаны с некоторыми случайными факторами, влияющими на точность измерений. Они могут зависеть от условий, в которых производится эксперимент. Например, обычный сквозняк в лабораторном помещении может случайным об­разом сказаться на измерениях температуры. Измерения проме­жутков времени запускаемым вручную секундомером также приво­дит к возникновению случайных погрешностей, связанных со слу­чайным изменением времени реакции экспериментатора.

Появление случайных погрешностей может быть связано со спецификой измеряемой величины. Если, например, измерять штангенциркулем размеры неточно изготовленной детали, то по­лученные результаты будут случайным образом зависеть от положения измерительного прибора. Еще один пример – неточность отсчета по шкале стрелочного прибора, связанная со случайным Мнением положения глаз экспериментатора относительно прибора.

Основным способом уменьшения случайных погрешностей является многократное измерение одной и той же физической ве­личины. Заметим, однако, что максимально возможная точность измерения определяется теми приборами, которые используются в эксперименте. Поэтому уменьшение случайной погрешности пу­тем увеличения числа опытов имеет смысл до тех пор, пока ее величина не станет явно меньше величины погрешности прибора. Погрешности приборов связаны с несовершенством любого измерительного инструмента. Если значение измеряемой величины определяется по шкале инструмента, абсолютная погрешность прибора считается, как правило, равной половине цены деления шкалы (например, линейки) или цене деления шкалы, если стрелка прибора перемещается скачком (секундомер) приборов, снабженных нониусом, погрешность можно считать равной точности нониуса. Погрешности электроизмерительных приборов определяют по их классу точности, который указывается на шкале.

Оценка погрешностей при прямых измерениях

Для повышения точности измерений (если, конечно, этом есть необходимость ) следует по возможности устранить математические погрешности. Это можно сделать различными способами. Если известна природа такой ошибки, и может быть определена ее величина, достаточно ввести соответствующую поправку. Это возможно, например, для исключения влияния на результат измерения таких факторов, как температура и давление воздуха, или факторов, связанных с известным недостатком измерительного инструмента (неравноплечностые рычажных весов обитым нулем прибора и т.п.). Разумеется, что вносить такого рода поправки есть смысл только в том случае, когда их величина соизмерима с величиной других ошибок, сопровождающих данные измерения.

Можно также исключить некоторые виды систематических погрешностей, используя спецальные методы измерений. Так, влияние уже упомянутой неравноплечности весов можно устранить, взвесив исследуемое тело дважды - сначала на одной чаше весов, а затем на другой. Есть и другие способы исключения системати­ческих погрешностей. Однако, как было отмечено выше, всегда остается ошибка; связанная с погрешностью используемого при­бора, а также случайные погрешности, которые заранее учесть нельзя.

В том случае, если погрешность прибора заведомо больше величины случайных погрешностей, присущих данному методу при данных условиях эксперимента, достаточно выполнить измерение один раз (например, при измерении обычной масштабной линей­кой длины, точно изготовленной детали ). Тогда абсолютная пог­решность измерения будет равна погрешности прибора. Если, наоборот, определяющей является случайная погрешность, надо уменьшить ее величину с помощью многократных измерений. Рас­смотрим методику оценки случайной погрешности в этом случае.

Предположим, что мы произвели n прямых измерений величины Х . Обозначим через Х1 , Х2, ... Хn резуль­таты отдельных измерений, которые вследствие наличия случай­ных погрешностей будут в общем случае неодинаковыми. В теории вероятностей доказывается, что истинное значение измеряемой величины (при отсутствии систематических погрешностей ) равно ее среднему значению, получаемому при бесконечно большом числе измерений, т.е.

(1)

Поэтому наиболее близким Х истинному будет для данной серии измерений среднее арифметическое значение, а именно:

(2)

Отклонения измеренных значении Хn от Xср носят слу­чайный характер и называются абсолютными ошибками отдельных намерений :

(3)

В элементарной теории ошибок, разработанной Гауссом мерой случайной погрешности отдельного измерения является так называемая средняя квадратичная погрешность, вычисляем по формуле

(4)

При большом числе измерений величина Sn стремится к некото­рому пределу σ, т.е.

Строго говоря, именно этот предел называется средней квадра­тичной погрешностью, а квадрат этой величины - дисперсией измерений.

Однако средняя квадратичная погрешность отдельного из­мерения Sn полезна лишь для оценки точности применяемого способа измерений. Нас же, главным образом, интересует погреш­ность результата всей серии измерений. Для этого надо найти среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического, характеризующую отклонение Хср от истинного значения искомой величины. Из закона сложения ошибок вытекает, что сред­няя квадратичная погрешность среднего арифметического равна

(5)

Отсюда следует, что чем больше проделано измерений одной и той же величины, тем меньше случайная погрешность результата. Это вполне понятно, т.к. согласно (1) и (2), чем больше число опытов, тем ближе Хср к Хист

Используя соотношения (4) и (5) , можно записать сле­дующее окончательное выражение для средней квадратичной пог­решности результата серии измерений

(6)

Это не означает, однако, что истинное значение измеря­емой величины обязательно будет заключено в интервале от Xср - ΔXкв до Хср + ΔXкв. Оказывается, что паже при очень большом числе измерений вероятность того, что истинное значение попадет в указанный интервал, не превышает 0,7. Другими словами, надежность полученного резуль­тата в данном случае составляет около 70 %. При малом числе измерений (n < 10) она будет еде меньше.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет в заданный интервал, называется доверитель­ной вероятностью, или коэффициентом доверия Р , а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погреш­ности – доверительным интервалом. Достоверность результата при данном количестве измерений можно увеличить, уменьшая его точность, т.е. расширяя доверительный интервал.

Обычно случайную погрешность рассчитывают по формуле:

(7)

где αn,p — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа из­мерений П. и выбранного значения доверительной вероятнос­ти P. Значения αn,p для ряда случаев приведены в таблице I.

Таблица I.

 
0,5 0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70   0,68
0,7 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1   1,0
0,95 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3   2,0

 

Как видно из таблиц, увеличение числа опытов позво­ляет при заданной доверительной вероятности существенно уменьшить случайную погрешность. Здесь следует учесть, что помимо коэффициента αn,p с ростом n уменьшается и значение Хкв.

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности в принципе необходимо задать два числа : саму погрешность Xкв и доверительную вероятность P, позво­ляющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров дета­лей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. В условиях учебной лаборатории достаточно брать P = 0,7.

Для окончательной оценки величины абсолютной погреш­ности ΔХ следует теперь сравнить полученную случайную погрешность с погрешностями других видов. Если путем много­кратных измерений удалось сделать случайную ошибку заметно меньше приборной ( при незначительных систематических ошиб­ках ), то в качестве ΔХ можно взять погрешность использо­вавшегося прибора. В противном случае в качестве ΔX берут значение Xсл .

Таким образом, для оценки абсолютной погрешности при прямых измерениях следует :

1) произвести серию измерений искомой величины и вы­числить среднее значение по формуле (2);

2) вычислить абсолютные ошибки отдельных опытов сог­ласно (3);

3) рассчитать ΔХкв по формуле (б);

4) определить случайную погрешность, пользуясь форму­лой (7) и таблицей 1 (или формулой Стъюдента);

5) сравнить ΔХср погрешность прибора, выбирая в качестве абсолютной погрешности наибольшую из этих погрешностей;

6) записать результат измерений в виде X = Хср ± ΔХ (8)

Заметим, что если величины случайной и приборной пог­решностей близки друг к другу, то обе они влияют на точность результата, примерно в одинаковой степени. Поэтов иногда в мчестве максимального значения абсолютной ошибки берут сумму указанных погрешностей.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величина абсолютной погрешности сама по себе дает мало ин­формации о действительной точности измерения, если не сопос­тавлять ее со значением измеряемой величины. Действительно, пусть погрешность, полученная при измерении линейных раз­меров, равна 0,5 см. или при этом идет речь о длине, на­пример, спичечной коробки, то точность будет очень плохой, а если с такой же погрешностью измерена длина заводского корена, то точность измерения следует считать даже излиш­не высокой.

Поэтому помимо абсолютной погрешности часто исполь­зуется так называемая относительная погрешность измерения Р. Она равна отношению абсолютной погрешности измерения к среднему значению измеряемой величины :

(9)

Относительную погрешность иногда выражают в процентах. Тог­да:

Особенно удобно использовать относительную погрешность при сравнении точности измерений разнородных физических величин.

Погрешности приборов

Основной частью большинства измерительных приборов является шкала с нанесенными на ней делениями. Погрешностьтаких приборов составляет, как уже отмечалось, величину порядка половины цены деления шкалыв той ее части, где производится отсчет (шкала может быть и неравномерной). Поэтому, как правило, не следует стараться при измерениях оценивать на глаз малые доли деления, тем более, что при изготовлении прибора шкала обычно наносится в соответствии с его классом точности (см. ниже).

Для существенного повышения точности измерений в ряде приборов помимо основной имеется дополнительная шкала, на­зываемая нониусом. Обычно это маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль основной шкалы. Деления на нониусе наносят таким образом, что одно деление нониуса составляет деления основной шкалы, где m — число делений нониуса. Если масштаб мелкий, то деления нониуса делают более крупны­ми, равными делений основной шкалы. И в том, и в другом случае оказывается, что при любом положении нониу­са один из его штрихов совпадает с каким-либо штрихом ос­новной шкалы. Отсчет по нониусу основан на способности глаза достаточно точно фиксировать это совпадение. Поэтому, пользуясь нониусом, можно производить отсчеты с точностью до части наименьшего деления основной шкалы.

Рассмотрим процесс измерений простейшим прибором, снабженным нониусом, - штангенциркулем. В исходном положе­нии (рис. 1а) нулевой штрих нониуса совпадает с нулем ос­новной шкалы, цена деления которой 1 мм. Число делений но­ниуса m в нашем примере равно 20. а его точность = 0,05 мм. Одно деление нониуса составляет 2 - . = 1,95 мм. Это означает, что первый (после нуле­вого) штрих нониуса смещен относительно второго штриха основной шкалы на 0,05 мм. Соответственно штрих с номером К смещен относительно ближайшего к нему справа штриха ос­новной шкалы на К' 0,05 мм. Поэтому, сдвигая нониус на эту величину, мы получим совпадение К-го штриха с одним из делений основной шкалы. Сдвинув нониус еще на 0,5 мм, мы обнаружим совпадение со штрихом основной шкалы К + 1 -го штриха нониуса и т.д. Аналогичная картина будет наблюдаться при смещении нулевого штриха нониуса вправо от любого из де­лений основной шкалы. Таким образом, с помощью изображенного на рисунке штангенциркуля можно оценивать размеры предметов с точностью до 0,05 мм.

 

 

Действительно, при измерении (см. рис. 1б) нулевой штрих нониуса, расположенного на подвижной части прибора, сдвигается как раз на величину, равную размеру предмета. Следовательно, отсчет надо произвести по основной шкале напротив нулевого штриха нониуса, который в общем случае будет находится между двумя соседними штрихами основной шкалы. При этом искомый размер будет равен целому числу делений основной шкалы плюс точность нониуса (в нашем случае 0,05 мм.), умноженная на номер штриха нониуса, сов­павшего е некоторым штрихом основной шкалы. В примере на рис. 1б отсчет должен быть равен 14,35 мм.

Погрешность штангенциркуля обуславливается неточностью совпадения штрихов, и не может быть, очевидно, больше точ­ности нониуса (иногда берут погрешность, равную половине точности нониуса ). Точность нониуса указывается, как правило, на самом приборе. Для штангенциркуля она обычно составляет 0,05 (иногда 0,1 мм).

Аналогично устроены и так называемые круговые нониусы, использующиеся в приборах с изогнутой шкалой. служащих глав­ным образом для измерения углов.

Особую роль играет оценка погрешностей, возникающих при использовании электроизмерительных приборов. В этом случае измерение каждой величины проводится, как правило, только один раз, и точность его определяется погрешностью используемого прибора. При электрических измерениях помимо абсолютной погрешности ΔX, равной разности между по­казанием прибора и действительным (истинным) значением измеряемой величины, и относительной погрешности оценивается также приведенная погрешность. Она равна отно­шению абсолютной погрешности к предельному значению вели­чины, т.е. наибольшему ее значении, которое можно измерить по шкале прибора |ΔXm| . Наибольшее значение приведенной погрешности, соответствующее максимально абсолютной пог­решности, допускаемой данным прибором, называется классом точности:

(10)

Согласно ГОСТ 1845-52, электроизмерительные приборы делятся на семь классов точности : 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1.8;

2,5; 4,0. Значение класса точности помещается на лицевой стороне прибора. Зная К, можно найти наибольшую абсолютную погрешность :

(11)

При измерениях электрических величин могут быть ис­пользованы приборы различных систем. Наиболее употребитель­ны приборы магнитоэлектрической системы, электромагнитные, электродинамические и тепловые приборы. У приборов магнито­электрической системы, основанных на действии магнитного поля постоянного магнита на рамку с током, угол поворота рамки пропорционален протекающему по ней току. Поэтому Чувствительность таких приборов постоянна, а измерительная шкала равномерна. Приборы других систем характеризуются не­равномерной шкалой. Однако абсолютная погрешность остается постоянной во всём диапазоне измерений.

Что касается относительной погрешности, то она будет тем больше, чем меньше измеряемая величина. Следовательно, нужно избегать таких измерений, при которых измеряемая ве­личина намного меньше ее предельного значения Хm . Иными словами, желательно, чтобы при измерении стрелка прибора от­клонялась по возможности на больший угол. Если же искомое значение приходится отсчитывать в самом начале шкалы, сле­дует воспользоваться более чувствительным прибором. Особенно удобны приборы с несколькими пределами измерений, позволяю­щее производить измерения в различных диапазонах с наиболь­шей точностью.

Оценка погрешностей при косвенных измерениях При косвенных измерениях искомая физическая величина А является функцией величин Х , У , Z ...., которые мо­гут быть получены с помощью прямых измерений. Результат кос­венного измерения записывается в виде :

А ± ΔА (12)

где A = ƒ(X, Y, Z, …) - значение искомой величины, рассчитанное по средним значениям параметров X , Y, Z, ..., каждый из которых измеряется, как правило, по несколько раз. ΔА - абсолютная погрешность косвенного измерения. зависящая от погрешностей параметров X , Y , Z, ... ( т.е. от ΔХ , ΔY , ΔZ , ...).

В простейших случаях абсолютную и относительную пог­решность косвенных измерений подсчитать нетрудно. Рассмот­рим несколько примеров.

Пусть А = Х + У . Если известны погрешности ΔX и ΔY , то





Рекомендуемые страницы:


©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-23 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!