Операционное исчисление.




1. Преобразование Лапласа. Оригиналы. Теорема о единственности оригинала.

2. Преобразование Лапласа. Изображение, теорема о существовании изображения.

3. Единичная функция Хевисайда.

4. Теоремы операционного исчисления.

 

Задания для выполнения контрольной работы №1.

Задание 1

141-150. Найти производные данных функций.

 

141. а) б)

в) г)

д)

142. а) б)

в) г)

д)

 

143. а) б)

в) г)

д)

144. а) ; б)

 

в) г)

д)

145. а) б)

в) г)

д)

146. а) б)

в) г)

д)

147. а) б)

в) г)

д)

148. а) б)

в) г)

д)

149. а) б)

в) г)

д)

150. а) б)

в) г)

д)

 

 

Задание 2

 

191-210. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить её график.

 

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

Задание 3

231. Дана функция Показать, что

232. Дана функция Показать, что

233. Дана функция Показать, что

234. Дана функция Показать, что

235. Дана функция Показать, что

236. Дана функция Показать, что

237. Дана функция Показать, что

238. Дана функция Показать, что

239. Дана функция Показать, что

240. Дана функция Показать, что

 

Задание 4

251-260. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств.

 

251.

252.

253.

254.

255.

256.

257.

258.

259.

260.

Задание 5

281-290. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

281. а) б)

в) г)

282. а) б)

в) г)

283. а) б)

в) г)

284. а) б)

в) г)

285. а) б

в ) г)

286. а ) б )

в ) г)

287. а) б)

в) г)

288. а) б)

в) г)

289. а) б)

в) г)

290. а) б)

в) г)

 

Задание 6

 

311. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и

312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой

313. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

314. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой и окружностью .

315. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной прямой , дугой и осью

316. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной локоном Аньези и параболой

317. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси одной арки циклоиды и осью

318. Вычислить длину дуги, параболы от начала координат до точки с абсциссой

319. Вычислить длину одной арки циклоиды

320. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали ,

 

 

Методические рекомендации по выполнению заданий.

141-150. Найти производные данных функций.

Для практической реализации правила дифференцирования сложной функции нужно уметь записать эту функцию в виде цепочки основных элементарных зависимостей. А для этого надо четко представить, какие операции и в каком порядке производятся над независимой переменной в аналитическом выражении, задающем эту функцию, и результат каждой операции обозначить буквой.

Пример 1. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если

Решение

Здесь выполняются две операции:

1) от x берется косинус, результат этой операции обозначим u:

2) u возводится в куб (обозначим за v):

Запишем эти операции в порядке, обратном порядку выполнения:

Обратите внимание, что последняя ("внешняя") операция здесь - возведение в куб.

Пример 2. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если

.

Решение

Здесь выполняются следующие операции:

1) x умножается на 3 и произведение складывается с двойкой, результат операции обозначим v:

2) от v берется синус (обозначим за u):

3) из u извлекается квадратный корень: ;

Запишем эти операции в порядке, обратном порядку выполнения:

,

Последняя ("внешняя") операция здесь - извлечение корня.

При дифференцировании сложной функции нужно выделить последнюю операцию в ее аналитическом выражении, и объект этой операции (т.е. величину, над которой операция производится) обозначить буквой, например, «u». Это «u» будет играть роль промежуточной переменной, Затем следует применить правило (2). Потом снова выделить последнюю операцию уже в промежуточной функции и опять применить формулу (2) и т.д.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение

Как отмечено в примере 1, здесь последняя операция - возведение в куб:

По формуле 1) из (3)

,

а по формуле 5) из (1)

,

так что .

Пример 4. Найти производную функции .

Решение

Здесь последняя операция - извлечение корня (см. пример 2). Ее объект (подкоренное выражение) обозначим u, так что:

, где .

По формуле 1) из (3)

.

В выражении для u последняя операция - взятие синуса (см. пример 2). Ее объект обозначим v:

По формуле 4) из (3)

Наконец, .

Итак,

Пример 5. Найти производную функции .

Решение

Как показано в примере 3, здесь последняя операция - возведение в степень с показателем . Основание степени обозначим u:

, где .

По формуле 1) из (3):

;

В выражении для u (см. пример 3) последняя операция - взятие логарифма. Ее объект обозначим v:

, где

По формуле 3) из (3):

;

В выражении для v последняя операция - взятие косинуса. Ее объект обозначим w:

.

По формуле 5) из (3)

.

Производная w = x -1 находится по формуле 1) из (1):

;

Таким образом, окончательный результат:

.

После некоторой тренировки запись можно вести так:

.

. (4)

После некоторой тренировки результаты промежуточных операций (промежуточные переменные) можно обозначать буквами лишь мысленно, а запись вести в виде (4).

Пример 6. Найти производную функции .

Решение

Здесь выполняются следующие операции: 1) возведение в 5-ю степень; 2) взятие косинуса; 3) взятие логарифма; 4) возведение в квадрат. Последняя операция - возведение в квадрат. Дифференцируем эту операцию.

.

В скобках последняя операция - логарифм. Дифференцируем эту операцию.

.

Теперь в скобках последняя операция - косинус.

Ее производная

.

Наконец, .

Итак,

.

Обратите внимание, что: 1) на каждом этапе дифференцируется последняя (на этом этапе) операция; 2) все, что стояло под знаком этой операции, сохраняется без изменения (1); 3) сомножителей будет столько, сколько звеньев в цепочке, задающей сложную функцию.

После приобретения некоторого навыка промежуточные записи опускаются.

Пример 7. Найти производную функции .

Решение

Запишем эту функцию в виде: .

Тогда:

.

 

№№191-200 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения функции .

2. Область значений функции .

3. Четность, нечетность функции.

функция не является четной,

функция не является нечетной.

4. Функция не является периодической.

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью ОУ: , получили точку .

С осью ОХ: , получили точку .

6. Асимптоты графика:

а) вертикальная .

Исследуем поведение функции при приближении к вертикальной асимптоте, для этого вычислим односторонние пределы:

в) горизонтальная:

горизонтальной асимптоты нет;

с) наклонная :

- наклонная асимптота.

7.Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем критические точки, используя необходимое условие экстремума.

- критические точки, .

Разобьем область определения функции критическими точками на интервалы и найдем знак производной в каждом из них:

     
+   + не сущ. _   +
возрастает   возрастает не сущ. Убывает точка минимума возрастает

 

8. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем точки, подозрительные на перегиб, используя необходимое условие точек перегиба.

- точка, подозрительная на перегиб, .

Разобьем область определения функции полученной точкой на интервалы и определим знак производной второго порядка в каждом интервале:

 

   
_   + не сущ. +
выпуклая точка перегиба вогнутая не сущ. Вогнутая

 

1. Строим график (рис. 2):

1) строим асимптоты и ;

2) отмечаем точку пересечения графика с осями координат , точку минимума и точку перегиба (0,0);

3) соединяем отмеченные точки в соответствии с промежутками возрастания , убывания , выпуклости , вогнутости и проведенными асимптотами.

№№231-240

Примеры. Найти частные производные от функций:

1) Считая z функцией только одного аргумента x, находим Аналогично, считая функцией только , получим

2) Считая функцией только затем только и только получим:

3) Заменяя корень степенью с дробным показателем и затем дифференцируя по каждой из двух переменных, получим:

4)

5)

В качестве примера вычислим частные производные второго порядка функции

Имеем

 

В рассмотренном примере смешанные частные производные и равны друг другу.

№№281-290 Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств . Сделать рисунок области D

Решение
Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области.
Изобразим заданную область

Найдём стационарные точки функции из системы
Для заданной функции система примет вид или
Решая систему, находим координаты стационарной точки . Эта точка лежит на границе области D.
Исследуем функцию на границе области D.
На ОА и заданная функция становится функцией одного аргумента : .
Найдём стационарные точки функции : ;

при . Точка принадлежит ОА.
На ОВ и заданная функция становится функцией одного аргумента : .
Найдём стационарные точки функции : ;

при . Точка принадлежит ОВ.
На АВ и заданная функция становится функцией одного аргумента :
.
; при . При .

Эта стационарная точка совпадает с точкой .
Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций , и .
Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:
, , ,
, ,
.

В заданной области наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 2.

Ответ: m=-1; M=2

№№281-290. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) Непосредственное интегрирование.

1.

2.

3.

4.

 

5.

 

б) Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть и - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда

Проинтегрируем:

, выразим один из этих интегралов:

- формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Этой формулой удобно пользоваться в случае, когда подынтегральная функция представлена в виде произведения двух функций. должен быть проще, чем .

 

(логарифмическая или обратно- тригонометрическая) Циклические интегралы

 

В случае циклических интегралов за принимается любая из имеющихся функций (если их две) и после двукратного применения формулы интегрирования по частям, решается линейное уравнение относительно данного интеграла.

Например:

1. Найти интеграл: .

Решение: Подынтегральная функция представлена в виде произведения многочлена первой степени и показательной функции. За принимается многочлен.

2. Найти интеграл: .

Решение: Подынтегральная функция представлена в виде произведения многочлена первой степени и логарифмической функции. За принимается логарифмическая функция.

 

3. Найти интеграл: .

Решение: Подынтегральная функция представлена в виде произведения показательной и тригонометрической функций За можно принять любую из этих функций. Интеграл относится к так называемым циклическим интегралам.

.

Мы получили точно такой же интеграл, как в левой части равенства, только с противоположным знаком. Перенесем полученный интеграл в левую часть равенства и решим линейное уравнение относительно этого интеграла:

в) Интегрирование рациональных дробей.

Найти интеграл:

1. .

Решение: Приступая к интегрированию, необходимо, прежде всего, проверить правильность дроби, затем разложить ее на простейшие, определить коэффициенты разложения и проинтегрировать полученные в разложении дроби. Данный интеграл можно найти сведением к табличному интегралу, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат x. Но можно решить и разложением на простейшие дроби.

 

.

Коэффициенты разложения определим разными способами.

1 способ .

 

2 способ

 

3 способ ,

.

Итак,

.

2.

Решение: Интегрируемая дробь правильная, разложим ее на простейшие дроби с учетом того, что корнями знаменателя являются действительные корни один из которых кратный.

, получили две равные дроби с одинаковыми знаменателями, следовательно, числители этих дробей равны между собой:

.

1 способ

2 способ

Для нахождения третьего коэффициента x можно положить любому числу, например, пусть . Подставив B и C в полученное равенство, имеем: .

3 способ ,

.

.

Итак,

 

.

3. .

Решение: Дробь неправильная. Выделим целую часть:

Разложим правильную рациональную дробь, стоящую во втором интеграле на сумму простейших дробей:

Приравнивая числители дробей, получим:

.

Коэффициенты найдем по методу частных решений.

Перейдя к интегралу, получим:

.

 

4. .

Решение: Знаменатель данной подынтегральной функции имеет один действительный корень и пару комплексно-сопряженных корней . Можно определить коэффициенты разложения, подставив действительный корень и любые два других действительных числа, но можно воспользоваться одним комплексным корнем (например ), что позволит определить сразу пару коэффициентов.

;

;

или



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: