Вопросы программы:
Линии на плоскости; прямая на плоскости и ее уравнения; взаимное расположение двух прямых на плоскости; расстояние от точки до прямой. Прямая в пространстве и ее уравнения; плоскость и ее уравнения; взаимное расположение прямой и плоскости.
С. 29-75 [3].
Задание 3. Дан треугольник АВС, где А(4,-2), В(0,7), С(-1,5). Найти:
а) уравнения сторон треугольника; б) уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; в) уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС; г) расстояние от вершины С до стороны АВ; д) косинус угла АВС. Сделать чертеж.
Решение: а) Уравнение прямой l, проходящей через точки M(х1,y1) и N(x2,y2), имеет вид (1). Используя формулу (1), составим уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через точки А(4,-2) и В(0,7):
, , 9(х -4)= -4(y +2), 9 х +4 y -28=0.
Таким образом, 9 х +4 y -28=0 - уравнение стороны АВ.
Аналогично получим уравнения сторон ВС и АС.
ВС: , и значит, 2 х-y +7=0 - уравнение стороны ВС.
АС: , и значит, 7 х+5y -18=0 - уравнение стороны АС.
б) Уравнение прямой l, проходящей через точку M(х1,y1) перпендикулярно прямой , имеет вид (2).
Используя формулу (2), составим уравнение высоты h, опущенной из вершины А на сторону ВС, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4,-2) перпендикулярно прямой ВС: 2 х-y +7=0:
h: , т.е. h: .
в) Уравнение прямой l, проходящей через точку M(х1,y1) параллельно прямой , имеет вид (3).
Используя формулу (3), составим уравнение прямой m, проходящей через точку В(0,7) параллельно прямой АС: 7 х+5y -18=0:
m: , т.е. m: .
г) Расстояние от точки M(х1,y1) до прямой вычисляется по формуле d= (4). Используя формулу (4), найдем расстояние от вершины С(-1,5) до стороны АВ: 9 х +4 y -28=0:
d= .
д) Косинус угла φ между прямыми и вычисляется по формуле (5). Используя формулу (5), найдем косинус угла φ между прямыми АВ: 9 х +4 y -28=0 и ВС: 2 х-y +7=0:
.
Сделаем чертеж:
y B(0,7)
C(-1,5)
0 x
A(4,-2)
Тема 3. Комбинаторика.
Вопросы программы:
Правила суммы и произведения; сочетания, размещения и перестановки без повторений; сочетания, размещения и перестановки с повторениями; треугольник Паскаля; бином Ньютона, полиномиальная теорема.
С. 33-42 [1]; c. 22–23 [6]
Задание 4. а) Сколькими способами из 30 студентов группы можно
выбрать трех дежурных?
б) Сколькими способами из 30 студентов группы можно выбрать старосту и его заместителя?
в) В подгруппе 6 студентов. Сколькими способами можно составить список подгруппы?
г) Сколько существует шестизначных номеров машин?
д) Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «окно»?
е) В кондитерской имеется 4 сорта пирожных. Сколько можно сделать различных покупок 6 пирожных?
Решение: Различают 6 видов комбинаторных множеств: сочетания,
размещения, перестановки без повторений и сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Пусть n – натуральное число. Через n! (читается «n -факториал») обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. n!=1·2·…· n. По определению полагают 0!=1.
Количество сочетаний без повторений из n элементов по k обозначается через и вычисляется по формуле ; количество размещений без повторений из n элементов по k обозначается через и вычисляется по формуле ; количество перестановок без повторений из n элементов обозначается через Рn и вычисляется по формуле Рn = n!; количество сочетаний с повторениями из n сортов по k обозначается через и вычисляется по формуле ; количество размещений с повторениями из n сортов по k обозначается через и вычисляется по формуле ; количество перестановок с повторениями типа {k1,k2,¼,ks} обозначается k ,k ,¼,k и вычисляется по формуле k ,k ,¼,k = .
а) Поскольку выбор производится из студентов группы, то речь идет о комбинациях без повторений. Кроме того, трое выбранных дежурных образуют неупорядоченное множество. Так как единственным типом комбинаций, в которых не важен порядок элементов, является сочетание, то в задаче идет речь о сочетаниях без повторений. Поэтому искомое число S способов выбора дежурных будет равно:
S = (способов).
б) Выбор старосты и заместителя можно рассматривать как выбор двух студентов из 30 имеющихся, причем между выбранными студентами устанавливается порядок (староста- первый, заместитель – второй). Поэтому в задаче речь идет размещениях без повторений из 30 по 2. Таким образом, искомое число S способов будет равно:
S = (способов).
в) Поскольку нет двух одинаковых студентов, то в задаче идет речь о комбинациях без повторений. Искомое число S способов составления списка равно числу способов упорядочения 6 - элементногомножества, т.е. числу перестановок без повторений из 6 элементов:
S = 6! = 720 (способов).
г) Поскольку машина может иметь, к примеру, номер 22 2222, то в задаче идет речь о комбинациях с повторениями. Так как 234567 и 324567 – различные номера, то рассматриваются комбинации, в которых важен порядок элементов. А именно, номер машины представляет собой размещение с повторениями из 10 элементов по 6. Тогда число S всех таких номеров будет равно:
S = (номеров).
д) В слове «окно» встречаются элементы трех типов: «о», «к», «н». Поскольку элемент «о» встречается дважды, то данное слово является комбинацией с повторениями, причем в этой комбинации важен порядок элементов. Пусть «о» - элемент 1 -го типа, «к» - элемент 2- го типа, «н» - элемент 3 -го типа. Тогда слово «окно» представляет собой перестановку с повторениями типа { 2,1,1}, а искомое число S составляемых слов равно числу таких перестановок:
S = (слов).
е) Поскольку можно выбрать все 6 пирожных одного сорта, то выбираемые пирожные образуют комбинацию с повторениями. Кроме того, в рассматриваемых комбинациях не важен порядок элементов. Следовательно, речь идет о сочетаниях с повторениями из 4 сортов по 6. Тогда искомое число S способов выбора пирожных будет равно:
S = (способов).