Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.




III. Различные виды дифференциальных уравнений и их решение.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

.

Чтобы решить это уравнение, надо сначала разделить переменные:

, а затем проинтегрировать обе части получившегося равенства:

.

 

Пример: Найти общее решение уравнения .

Решение: Разделим переменные: . Интегрируем обе части этого равенства:

;

;

;

т.к. произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований возьмем не С, а .

Умножив обе части уравнения на 2, получим .

Применяя свойство логарифма произведения к правой части, получим .

Потенцируем получившееся равенство: ,

откуда - это и есть общее решение данного уравнения.

 

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Однородной функцией переменных и называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.

Примеры: -однородные функции соответственно второй, третьей и первой степени.

Уравнение вида , где , - однородные функции одной и той же степени, называется однородным дифференциальным уравнением.

Однородное дифференциальное уравнение путем подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример: Найти общее решение уравнения

.

Решение: Данное уравнение является однородным первой степени относительно переменных и . Пусть , где - новая функция от .

Найдем дифференциал этого произведения: . Подставим выражения и в данное уравнение:

;

упростим его: ;

;

;

.

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем обе его части:

;

;

.

Заменяем в этом выражении на , получим - это и есть общее решение данного уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В отдельных случаях и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .

 

Пример: Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это – линейное уравнение, где ; .

Пусть , дифференцируем это равенство по :

.

Подставим выражения для и в данное уравнение:

или

(*).

Так как одну из вспомогательных функций и можно взять произвольно, то за возьмем одно из частных решений (С=0) уравнения

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и интегрируем обе части:

;

;

.

Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение:

; откуда

- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные и интегрируем обе части:

;

;

.

Зная и , получим теперь общее решение данного уравнения:

.

 

ЗАМЕЧАНИЯ: 1). Если в результате интегрирования в одной из частей дифференциального уравнения получают функцию , то удобно постоянное слагаемое С брать в виде .

2). Тогда для упрощения левой и правой части используют определение, виды и свойства логарифма:

1. Логарифмом числа N по основанию a () называется показатель степени, в которую надо возвести основание степени a, чтобы получить число N, т.е., .

2. Из определения следует основное логарифмическое тождество .

3. Обычно используют только один вид логарифма – натуральный логарифм:

4. Свойства логарифмов:

ü Логарифм произведения

ü Логарифм частного

ü Логарифм степени

ü

5. В результате таких преобразований получаем дифференциальное уравнение вида , потенцируя которое, получаем уравнение вида .

6. Однако, иногда приходится преобразовывать слагаемое, например, , к логарифму, чтобы стали возможны вышеперечисленные действия. Это преобразование выполняют следующим образом:

.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-11-18 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: