Дифференциальное исчисление функции




Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, а также вопросы применения производных к исследованию функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину произошло вовторой половине XVII века и связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой.

7.1. Понятие производной функции одной переменной

Определение 7.1. Пусть дана функция , где . Разность при называется приращением аргумента в точке x 0.Разность называется приращением значений функции f в точке x 0.

Определение 7.2. Если существует конечный или бесконечныйпредел , то он называется производной (конечной или бесконечной) функции f в точке x 0.

Вместо точки x 0 можно брать произвольную точку , такую, что точка .

Определение 7.3. Производной функции в точке называется .

Замечание 7.1. Если функция определена и имеет производную для всех точек , то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента .

Вместе с обозначением для производной функции встречаются и другие обозначения: .

Определение 7.4. Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Определение 7.5. Односторонние пределы (конечные или бесконечные): и

называются, соответственно, левой и правой производными функции (конечной или бесконечной) в точке x 0.

Утверждение 7.1. Если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке и левую и правую производные, которые совпадают между собой. Наоборот, если функция имеет в точке левую и правую производные, которые совпадают между собой, то имеет в точке производную.

Если функция имеет в точке левую и правую производные, которые не совпадают между собой, то в точке не существует производной у функции . Например, функция

Утверждение 7.2. Если функция y = f (x) имеет в точке х0 производную, то она определена как в самой точке x0, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x0.

Обратное заключение было бы, однако, неверным.

Пример 7.1. Пусть задана непрерывная в каждой точке функция

Отношение

Отношение не имеет предела при Δ x → 0, т.к. , если Δ х > 0, и если Δ x < 0, то оно равно -1. Поэтому,при заданнаяфункция не имеет производной, но она имеет левую производную и правую производную .

 

7.2. Задачи, приводящие к понятию производной функции

Задача 7.1. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными.

Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt2 /2, где s — пройденный путь с начала падения (в метрах), t — время падения (в секундах), g — постоянная величина, ускорение свободного падения, g ≈ 9,81 м/сек2. За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую — около 14,7 м, а за десятую — около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Δ t

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Δ t приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае, когда закон движения выражается формулой , средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Δ t даётся формулой: , а скорость движения в момент времени t равна: .

Таким образом, скорость в данный момент времени, или мгновенная скорости, является функцией времени t и определяется с помощью производной. В этом заключается механический смысл производной, а именно: производную функции можно интерпретировать как мгновенную скорость движения материальной точки по пути, определяемым законом движения в момент времени .

В физике производная функции по переменной времени t обозначается .

Задача7.2. С помощью производной можно определить силу тока в цепи в данный момент времени t, как предел , где Δ q — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Δ t;

7.3. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график (см. рис. 7.1) функции , определенной и непрерывной на интервале . Зафиксируем произвольную точку x на и дадим приращение такое, что точка . Пусть точки С, M - точки на графике функции , абсциссы которых равны , (рис.7.1). Координаты этих точек и .

 

Рисунок 7.1. График функции

 

Определение 7.6. Прямая, проходящую через точки С и M графика функции называется секущей. Обозначим угол наклона секущей СM с положительным направлением оси ОX через .

Пусть , тогда точка движется по графику функции , приближаяськ точке . Прямая СМ вращается вокруг точки С и стремится занять предельное положение СТ.

Определение 7.6. Прямая СТ, которая представляет собой предельное положение секущей СМ при , называется касательной к графику функции в точке С. Точка С называется точкойкасания.

Угол φ(рис. 7.1), образуемым касательной СТ с положительным направлением оси Ох, представляет собой предельное положение угла α, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Теорема 7.1. Если укривой графикафункции в произвольной точке существует касательная, непараллельная оси Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке .

Доказательство. Из угловой коэффициент (рис. 7.1) секущей равен

.

 

При в силу непрерывности функции приращение , а секущая , поворачиваясь вокруг точки , переходит в касательную .Тогда . Поэтому, угловой коэффициент касательной к графикуфункции в произвольной точке равен

.

Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графикуфункции в точке с координатами , т.е. .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-23 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: