ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №3
ПО КУРСУ___________________________________________________________________
ТЕМА__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ___________________________
СТУДЕНТ___________________________________
Выкса 2017
Содержание
Теория. 3
Задача. 4
1.Кусочно-линейная интерполяция. 5
2.Кусочно-параболическая интерполяция. 6
3.Интерполяция полиномом второго порядка. 7
4. Интерполяция полиномом четвертого порядка. 8
5. Аппроксимация полиномом первого порядка. 9
6.Аппроксимация полиномом второго порядка. 10
Теория
Интерполяция (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией.
Под аппроксимацией обычно подразумевается описание некоторой, порой не заданной явно, зависимости или совокупности представляющих ее данных с помощью другой, обычно более простой или более единообразной зависимости. Часто данные находятся в виде отдельных узловых точек, координаты которых задаются таблицей данных. Результат аппроксимации может не проходить через узловые точки. Напротив, задача интерполяции - найти данные в окрестности узловых точек. Для этого используются подходящие функции, значения которых в узловых точках совпадают с координатами этих точек. Например, при линейной интерполяции зависимости у(х) узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых и считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках.
Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Для повышения точности интерполяции применяют параболы (квадратичная интерполяция) или полиномы более высокой степени (полиномиальная интерполяция).
Задача
В результате экспериментального изучения некоторой зависимости y=f(x) получена таблица значений в пяти точках
I | |||||
xi | 0,2 | 0,4 | 0,5 | 0,75 | |
f(xi) | 0,3 | 1,2 | 0,6 | 1,2 | 0,9 |
Требуется выполнить:
· кусочно-линейную интерполяцию
· кусочно-параболическую интерполяцию
· интерполяцию полиномом второго порядка
· интерполяцию полиномом четвертого порядка
· аппроксимацию полином первого порядка
· аппроксимацию полиномом второго порядка
1.Кусочно-линейная интерполяция
Кусочно-параболическая интерполяция
3.Интерполяция полиномом второго порядка
4. Интерполяция полиномом четвертого порядка
5. Аппроксимация полиномом первого порядка
6.Аппроксимация полиномом второго порядка