Формы комплексного числа




Решение заданий контрольной работы для 3-го курса З.О.

Задание № 1

Исследуйте систему и решите ее методом Крамера.

 

по методу Крамера: составим главный определитель системы

= =8+27-1-6-6+6=28, т.к. ≠0, то система имеет единственное решение.

Находим определители по , по , по . х = =8+27+1-6-6-6=18

у = =4+18+-3-3-18+4=2 z = =-12-9+2+12-9+2=18 Находим = = = ; = = = ; = = = ;

 

Ответ: Система имеет единственное решение. (; )

 

Задание № 2

Треугольник АВС задан вершинами в системе координат на плоскости.

Найти. 1. Уравнение прямой АВ;

2. Уравнение высоты, проведённой к стороне АВ;

3. Уравнение прямой, параллельной к прямой АВ и проходящей через точку С;

4. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой ВС и проходящей через точку А;

5. Расстояние от точки С до прямой АВ.

 

Решение: Построим АВС в системе координат по точкам А(-2;3), В(1;5), С(2;-2)

Найдём координаты всех векторов по формуле:

(хВ - хА; уВ - уА)

(3; 2), (-3; -2)

(1; -7) (-1; 7)

(4; -5) (-4; 5)

1). Уравнение прямой АВ составляем по формуле

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Прямая АВ (А(-2;3), В(1;5))

, , , Упростим выражение и приведём его к виду А х+В у+С=0 2 () = 3 (), 2х+4 = 3у – 9,

2х - 3у +4 + 9 = 0, 2х - 3у +13 = 0 – Уравнение прямой АВ.

2). Уравнение высоты, проведённой к стороне АВ, это есть прямая СК (3; 2)

По уравнению прямой, проходящей через точку М0 () и заданным нормальным вектором (A;B)A B 0, где М0 () = С(2;-2) и

(A;B) = (3; 2). 3 2 0 преобразуем выражение и приведём его к виду А х+В у+С=0. 3 х - 6 2 0, получили

3 х 2 0 Уравнение высоты СК, проведённой к стороне АВ.

 

3). Уравнение прямой, параллельной к прямой АВ и проходящей через точку С;

Прямая МС С(2;-2) и МС АВ kМС = kАВ = = = ; kМС =

По уравнению k , где С(2;-2) = М0 (), k = kМС = получаем ; преобразуем выражение и приведём его к виду А х+В у+С=0. 0 Уравнение прямой МС АВ

 

5). Расстояние от точки С до прямой АВ.

Расстояние от точки С(2;-2) до прямой АВ 2х - 3у +13 = 0 по формуле

d = , где х0 и у0 координаты точки С(2;-2), а А и В – коэффициенты х и у в уравнении АВ 2х - 3у +13 = 0; получим d ( С(2;-2; АВ ) = =

=

Ответ: 1. 2х - 3у +13 = 0 – Уравнение прямой АВ;

2. 3 х 2 0 Уравнение высоты СК;

3. 0 – Уравнение прямой МС АВ;

4. ----

5. d( С(2;-2); (АВ) )= .

Задание № 3

Дана функция , где - № варианта.

3.1. Составьте уравнение касательной и нормали к графику данной функции в точке с абсциссой равной 3.

3.2. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=y(t), где у(t) – функция

из задания 3.1.

Найдите ускорение движения и путь, пройденный телом, в момент его остановки.

Решаем задачу для В № 41, т.е. а=41

Составим задачу для указанного варианта: ;

= f(x),

3.1.1 Составим уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой, равной 3.

Геометрический смысл производной функции – это угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой = f(x), в точке М0 (), т.е. Kкасательной = у'(х0), где K – угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной к графику функции в точке М0 () имеет вид:

у у0 = у'(х0) *

Работаем по плану:

1) Находим у0 = f( ) = f( ) = =

= ) = ) (-1 82) = 747 = у0

2). Находим у'(х) = ( = 3 - 82 2 = 164 ;

Находим у'(х0) = у'( 3) = 164 9 + 492 = 501 = у'(х0)

3). Из 1) и 2) подставим в *, получим у ( 747) = 501

у 747 = 501 х 501 х у = 0 это есть ур. касательной.

3.1.2 Составим уравнение нормали к графику данной функции в точке с абсциссой, равной 3.

Уравнение нормали к графику функции в точке М0 ()

у у0 = = ** Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, значит Kнормали =

4). Из 1) и 2) подставим в **, получим у ( 747) =

После преобразований получим: (у+747) 501+х+3=0;

х+501у+374250=0 Уравнение нормали

3.2 Тело движется прямолинейно по закону S(t)=y(t), где у(t) – функция

из задания 2.1.

Найдите ускорение движения и путь, пройденный телом, в момент его остановки.

Решаем задачу для В № 41, т.е. а=41

Составим задачу для указанного варианта: ;

Физический смысл первой производной функции = V(t) – скорость в любой момент времени

Физический смысл второй производной функции = V (t)=а(t)

ускорение в любой момент времени

Полезно знать, что остановка тела характеризуется

Решение.

1). Найдём первую и вторую производные функции

= () = 164 =

= V (t) =( 164 ) = 2 164 = а( t)

2). Т.К. тело остановилось, то . Найдём время остановки.

164 = 0 0 (с) или (с)

Т.К. при = 0 тело начинает движение, то находим

а(164) = 2 = 164( )

= = (м)

Ответ:

3.1. Уравнение касательной 501 х у = 0

Уравнение нормали х+501у+374250=0

3.2 а(164) = 164( )

(м)

Задание 4

Фигура ограничена линиями: y = x2 x, y = 0

4.1. Постройте фигуру в системе координат.

4.2. Вычислите площадь фигуры.

АА
В
 
 
Вычислите объём тела, полученного вращением фигуры из задания 4.1 вокруг оси ОХ.

Дано:

а = 41

y = x2 x = f(х)

 
у = 0

________________________________________________________________________________

4.1) Вычислим площадь фигуры ОАВ по формуле , где a и b точки пересечения линий

 
= 0

0 или в этих точка парабола пересекает ось ОХ.

Вычисления: = =

= = = (кв. ед) площадь фигуры

4.2) Вычислим объём тела, полученного вращением фигуры ОАВ вокруг оси ОХ по формуле V=

Вычисления:

V = =

=

= 0 = = = (куб.ед.) – объём тела вращения.

Ответ:

Площадь фигуры = кв. ед.

Объём тела вращения V = куб.ед.

 

Задание № 5.

Примечание номер варианта, b= +1, c= +2

5.1. Найдитеобщее решение дифференциального уравнения.

) x y = 2 a ,

5.2. Найдите частное решение дифференциального уравнения.

y =6 (b ) х + с, если при хo = 0, у = 2,y ;

Составим задачу 5.1). Для 41 варианта: а=41, b=42, c=43

5.1). (43 41) x y = 2 41 2 x y = 2 41 , заменим

2 x = 2 41 /

2 x = 2 41 разделяем переменные. Для этого делим обе части уравнения на произведение (х )

= = после сокращения получим:

= интегрируем обе части,
, = 41 , зная, что ln(x )=lnx + lny

и , получим =

= y = это есть общее решение диф. ур-ния.

Ответ: общее решение диф. ур-ния y =

 

5.2). Составим задачу 5.2). Для 41 варианта: а=41, b=42, с=43

y =6 (b ) х + с, если при хo = 0, у = 2,y ;

y =6 (42 41 ) х + 43 y =6 х + 43 =

1. **

, / ;

=

3 + 43 х + C1 =

Найденное значение подставляем в * и вновь решаем диф. уравнение первого порядка умножаем на , интегрируем и получаем: у = + + х +

Получили общее решение (ОР) диф. ур.

Для нахождения и подставляем в систему начальные условия хo = 0, у = 2,y

 

эти значения подставляем в ОР и получаем частное решение (ЧР)

у = + + х +

 

Ответ: частное решение дифференциального уравнения

при хo = 0, у = 2,y ; у = + + х +

__________________________________________________________

 

Тема: Комплексные числа. ( теория для сведения )

Развитие понятия числа

Определение: Если результатом действия над числами некоторого множества является число этого же множества, то говорят, что это действие выполняется в этом множестве.

Пример 1. Сложение и умножение выполняются в множестве натуральных чисел, т.к. результаты этих действий есть натуральные числа.

Пример 2. Вычитание в множестве натуральных чисел не выполняются, т.к. при вычитании большего числа из меньшего получается отрицательное число, которое не является натуральным.

Аналогично можно рассмотреть примеры результатов действий деления, извлечения корня, которые не входят(соответственно) в множество целых чисел и действительных чисел.

Результаты действий вычитания, деления, извлечения корня расширяют понятия числа и приводят к появлению новых числовых множеств. Это развитие наглядно иллюстрируются с помощью кругов Эйлера.

N – множество натуральных чисел (сложение и умножение)

Z – множество целых чисел (сложение, умножение и вычитание)

Q – множество рациональных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление)

Рациональные числа выражаются в виде бесконечной десятичной дроби периодической дроби.

R – множество действительных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление, возведение в целую степень и извлечение корня из неотрицательного числа)

Действительные числа выражаются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Все действительные числа расположены на оси (OX), которую называют действительной осью, т.к. между действительными числами и точками оси (OX) установлено взаимно-однозначное соответствие. (Каждому действительному числу соответствует единственная точка оси (OX) и каждой точке оси (OX) соответствует одно и только одно действительное число).

Но в множестве действительных чисел не выполняется действие извлечение корня из отрицательного числа, не имеет действительного решения и уравнение x2+1=0. Для того, чтобы все это стало возможным введем новую единицу i (мнимая единица).

i2= -1
Определение. Мнимой единицей (i) называется такое число, квадрат которого равен –1,

В этом случае любое отрицательное число можно представить: и тогда - есть мнимое число.

Решим уравнение x2+1=0 x2=-1 x2=i2

Ответ:

С введением мнимой единицы появились мнимые числа вида и стало возможным извлекать корень четной степени из отрицательного числа.

Если к множеству действительных чисел (а) добавить множество всех мнимых чисел (вi), то получим новое множество -комплексных чисел. (К), в котором выполняются все арифметические действия; сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в любую степень и извлечение корня.

Комплексные числа

Определение. Числа, вида , где «а » и «в » действительные числа, i- мнимая единица, называются комплексными числами.

а – действительная часть комплексного числа,

вi – мнимая часть комплексного числа,

в – коэффициент мнимой части,

i – мнимая единица.

Определение Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны действительные части комплексного числа и мнимые части комплексного числа, т. е. если

Степень мнимой единицы

Аналогично рассуждая получаем i4k=1 и , где k -целое число

Пример 4.

Формы комплексного числа

3.1. Алгебраическая форма

Рассмотрим действия

 

+
Сложение: z1=a11i

z2=a22i

z1+ z2=(a1+ a2)+(в1+ в2)i

-
Вычитание: z1=a11i

z2=a22i

z1- z2=(a1-a2)+(в1+ в2)i

Умножение:

Лучше перемножать как два двучлена.

Деление:

Пример 6.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: