Приближённые вычисления значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий по теме: «Функциональные ряды».

Степенные ряды. Сходимость степенных рядов.

Функциональный ряд вида

, где - действительные числа, называется степенным рядом.

В частности, если , то мы будем иметь степенной ряд по степеням .

Основным свойством степенных рядов является следующее:

Если степенной ряд сходится при , то он будет сходиться (и притом абсолютно) при всяком значении , удовлетворяющем неравенству (теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится. На концах интервала сходимости ряды ведут себя по-разному. Поэтому, в этих точках необходимо проводить дополнительное исследование.

Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример 1.

Исследовать сходимость степенного ряда.

Решение. Фиксируем , получаем числовой ряд и применяем к ряду из абсолютных величин признак Даламбера. Для этого вычислим

, если . Следовательно, ряд расходится, если .

Ответ: - точка сходимости.

Решение. Применяем к ряду из абсолютных величин признак Даламбера:

, чтобы ряд сходился. Интервал сходимости найдём из неравенства

Проведём дополнительное исследование на концах интервала: в точках .

Подставим в исходный ряд. Получим знакочередующийся числовой ряд . По теореме Лейбница для знакочередующихся рядов этот ряд сходится, так как:

Следовательно, принадлежит интервалу сходимости степенного ряда.

Подставим в исходный ряд. Получим знакоположительный числовой ряд , который сравним со сходящимся обобщённым гармоническим рядом По 2 признаку сравнения вычислим: принадлежит интервалу сходимости степенного ряда.

Ответ: интервал сходимости

Решение. Фиксируем и применяем к ряду из абсолютных величин радикальный признак Коши. Вычислим:

Следовательно, ряд сходится при любых значениях .

Ответ: интервал сходимости

Пример 2.

Исследовать сходимость степенного ряда.

Решение. Фиксируем и применяем к ряду из абсолютных величин признак Даламбера:

чтобы ряд сходился по признаку Даламбера. Интервал сходимости найдём, рассмотрев неравенство:

Проведём дополнительное исследование на концах интервала: в точках x=0; 2.

Поставим x=0 в исходный ряд. Получим знакочередующийся числовой ряд:

который сходится по теореме Лейбница, т.к.

а) ( = )

б) убывает, .

Следовательно, х=0 принадлежит интервалу сходимости степенного ряда.

Подставим х=2 в исходный ряд. Получим знакоположительный числовой ряд , который расходится по интегральному признаку Коши, так как несобственный интеграл - расходящийся.

Следовательно х=2 не принадлежит интервалу сходимости степенного ряда.

Ответ: интервал сходимости [0;2).

б)

Решение. Рассмотрим эквивалентный степенной ряд , где -бесконечномалая при ) Найдём интервал сходимости этого ряда. Применяем к ряду из абсолютных величин признак Даламбера.

чтобы ряд сходился по признаку Даламбера. Найдем интервал сходимости ряда, рассмотрев неравенство

Проведём дополнительное исследование на концах интервала: в точках х=-4; -2. Подставим х=-4 в исходный ряд. Получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по теореме Лейбница, т.к.

b) .

Следовательно, х = - 4 принадлежит интервалу сходимости степенного ряда.

Представим х=-2 в исходный ряд. Получим расходящийся обобщённый гармонический ряд . Следовательно х = - 2 не принадлежит интервалу сходимости.

Ответ: Интервал сходимости

Приближённые вычисления значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Всякая функция бесконечно дифференцируемая в интервале может быть разложена в сходящийся к ней в этом интервале бесконечный степенной ряд Маклорена:

где 0<c<x – остаточный член ряда Маклорена.

Приведём разложения в ряд Маклорена следующих функций:

Для вычисления логарифмов эффективна формула

где остаточный член .

Для вычисления приближённого значения функции f(x) в её разложении в степенной ряд сохраняются первые n членов (n-конечная величина), а остаточные члены отбрасываются. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов (остаточный член Rn(x)). Если данный ряд знакоположительный, то остаточный член оценивают непосредственно; если знакочередующийся, члены которого удовлетворяют теореме Лейбница, то используется оценка

, где - первый из отброшенных членов ряда.