Изучение статистических закономерностей на механической модели

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

Цель работы: изучить статистические закономерности на механической модели.

Оборудование: 1) доска Гальтона;

2) шарики.

краткие ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

При измерении физических величин всегда допускаются ошибки, которые подразделяются на три класса:

a) случайные ошибки вызываются действием не поддающихся контролю многочисленных факторов;

b) систематические ошибки остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины;

c) промахи – это такие погрешности, которые оказываются значительно больше ожидаемой при данных условиях.

В работе предлагается методика обработки случайных ошибок методами теории вероятностей. Рассмотрим необходимые для этого понятия.

1) Вероятностью P называется число, которое выражает объективную возможность появления данного события. Невозможным событиям приписывается , а достоверным . В общем случае .

2) Математическое ожидание или среднее значение определяется как среднее арифметическое:

или ,

где N – число измерений; определяют число случаев, дающих значение .

Отношения при большом N приблизительно дают вероятность получить значение при измерении величины.

Все измеренные значения на числовой оси группируются вокруг истинного значения в одних случаях более кучно, а в других нет.

Если ввести величину , называемую дисперсией, то на рис.1 она будет мала, а на рис.2 – велика. Дисперсия характеризует точность измерения. Величина называется среднеквадратичным отклонением.

3) Разные значения измеряемой величины получаются с разной вероятностью. В таких случаях говорят, что случайная величина распределена по определенному закону. Мы будем рассматривать так называемый нормальный закон.

Рассмотрим функцию: , введенную К.Ф. Гауссом.

Ее график изображен на рис.3. Вся площадь под кривой равна 1, отсюда получается коэффициент .

В точках , перегиб, т.е. выпуклость меняются на вогнутость.

Выберем в любом месте интервал величиной , тогда (заштрихованная площадь) даст вероятность того, что значение измеряемой величины попадет в этот интервал.

Для того, чтобы среднее значение совпало с истинным, необходимо провести бесконечно большое число измерений. На практике проводят конечное число измерений (делают выборку). Например, 10 измерений. При этом получают среднее значение . Если сделать еще 10 измерений, то получим новое среднее , в общем случае отличное от . И так далее.

Каждая случайная выборка характеризуется своей дисперсией. На рис.4 они обозначаются .

Таким образом, среднее арифметическое и дисперсия выборки сами являются случайными величинами, следовательно, к ним тоже можно применить понятие и среднего арифметического (рис.4).

Обозначим через дисперсию всей совокупности бесконечного числа измерений, а через – дисперсию какой-нибудь случайной выборки. Можно показать, что: ,

учитывая, что: ,

получаем формулу Бесселя: .

Эта величина получила название среднего квадратичного отклонения отдельного измерения. Для дисперсии среднего арифметического (рис.4) получается соотношение:

,

где – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Интересно отметить, что с вероятностью 0,997 (почти достоверное событие) измеряемая величина попадет в интервал . Если взять интервал , то он называется доверительным интервалом, а сама вероятность (0,683) называется надежностью.

Если число измерений мало (малый объем выборки), то ошибку рекомендуется рассчитать по методу Боссета (псевдоним «Стьюдент»). Для этого задаются определенной надежностью (доверительной вероятностью) и по специальной таблице коэффициентов Стьюдента ищут доверительный интервал: . (P дается экспериментатором, а N – число измерений.)

ХОД РАБОТЫ.

В работе используется доска Гальтона. Бросание шарика выполняет роль измерения. Попадание шарика в ячейку – результат измерения.

1) При попадании шарика в ячейку считать, что результат измерения равен координате середины ячейки.

Составить таблицу:

2) Бросить пять шариков и вычислить , , , .

Данные занести в таблицу

	, см

Считать, что P =0,95.

3) Вычислить доверительный интервал .

Записать ответ: с надежностью P =0,95.

4) Повторить тот же опыт при P =0,5.

Замечание: если измерение дает какое-либо значение с абсолютной ошибкой , выходящей за пределы доверительного интервала, то это значение является промахом и отбрасывается. Оставшиеся значения просчитываются заново.

5) Бросить пять шариков пять раз. И того 25 измерений.

Составить таблицу (по горизонтали 21 клетка, по вертикали 5), располагая ее для удобства вдоль страницы тетради.

N опыта				...

Результаты показаний отметить (+).

6) Вычислить отдельно для каждой строки – среднее арифметическое выборки, – дисперсия выборки.

7) Вычислить для всей совокупности 25-ти измерений следующие величины:

и .

8) Проверить соотношения теории вероятностей ; , где под M понимается среднее арифметическое (сокращенно).

Таблица коэффициентов Стьюдента.

Р – вероятность (доверительная вероятность),

N – число измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Дискретные и непрерывные случайные величины.

2. Дисперсия, математическое ожидание.

3. Закон Максвелла. Распределение молекул по скоростям.

ЛИТЕРАТУРА.

4. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. (10-16)