Тема III. Производная функции и ее приложения

Тема I. Комплексные числа

, – действительная часть КЧ,

b – мнимая часть КЧ,

Степень мнимой единицы:

и - комплексно-сопряженные числа.

Действия с КЧ в алгебраической форме:

1. ;

2. ;

3. ;

;

4. .

- модуль КЧ, .

- аргумент комплексного числа, который вычисляется в зависимости от расположения КЧ.

I четверть: ;

II четверть: ;

III четверть: ;

IV четверть: .

Если числа расположены на координатных осях:

- тригонометрическая форма записи КЧ.

Формулы Эйлера:

- показательная форма КЧ.

Действия над КЧ в показательной форме:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Пример 1. Найти модуль комплексного числа и записать число в показательной форме и тригонометрической форме

Переведем все числа в показательную форму:

, т.к. , .

, т.к. ,

Выполним действие:

Ответ: , , .

Пример 2. Выполнить действия в алгебраической форме, записать число в показательной форме

Используем формулу .

Найдем модуль и аргумент КЧ:

;

Ответ: .

Пример 3. Выполнить действия в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме.

, если , .

Переведем число в показательную форму:

, , .

Выполним действия:

Ответ: 16.

Пример 4. Найти действительные числа х и у, если

Выполним действия в левой и правой части равенства:

Используем условие равенства двух комплексных чисел:

Ответ: .

Задание 1.

1.1 Выполнить действия в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. , , ; Ответ: 2.

6. , , ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

1.2 Найти модуль комплексного числа и записать число в показательной форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: .

6. ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

Тема II. Предел функции

Постоянная b называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что при всех х удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Если с – постоянная величина, то:

1. .

Если функция и имеют пределы при , то:

2. ;

3. ;

4. , если .

Из формулы (3) следует, что:

5. , ;

6. ;

7. , ;

8. ;

9. Если существует и - элементарная функция, то .

Примеры

1. Найти

2. Найти

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность , заданную относительно двух многочленов, необходимо разложить их на множители и сократить.

3. Найти

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность , где присутствуют иррациональные выражения, необходимо числитель и знаменатель дроби домножить на выражения, сопряженные иррациональным и сократить.

4. Найти , так как при величины и - бесконечно малые, и их пределы равны 0.

Правило 3. Если степени числителя и знаменателя равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов членов дроби.

5. Найти .

Правило 4. Если степень числителя выше степени знаменателя, то при дробь не имеет конечного предела (предел бесконечный).

6. Найти .

Правило 5. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то .

Чтобы раскрыть неопределенность нужно числитель и знаменатель дроби разделить почленно на наивысшую степень переменной знаменателя.

7. Найти

Правило 6. При раскрытии неопределенности представить выражение в виде дроби, умножить и разделить на выражение, сопряженное иррациональному, далее используя предыдущие правила.

8. Найти

Имеет место соотношение, которое раскрывает неопределенность :

Число е – иррациональное ().

9. Найти , т.к. если .

10. Найти , т.к.

если .

11. Найти

; т.к. если , при , , .

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется предел отношения синуса дуги к самой дуге.

или

12. Найти

13. Найти

14. Найти

15. Найти

16. Найти

(При , следовательно - бесконечно малая функция, пусть , тогда , . При , , , пусть , тогда , ).

Задание 2.

2.1 Найти предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя:

1. Ответ: .

2. Ответ: 0.

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

13. Ответ: 3.

14. Ответ: .

15. Ответ: .

16. Ответ: 4.

17. Ответ: .

18. Ответ: .

19. Ответ: 1,5.

20. Ответ: 0.

21. Ответ: .

22. Ответ: .

23. Ответ: 0.

24. Ответ: .

25. Ответ: .

26. Ответ: 6.

27. Ответ: .

28. Ответ: .

29. Ответ: 3.

30. Ответ: .

31. Ответ: .

32. Ответ: 1.

33. Ответ: 0.

34. Ответ: .

35. Ответ: .

36. Ответ: .

37. Ответ: 0.

38. Ответ: 0.

39. Ответ: .

40. Ответ: 4.

41. Ответ: .

42. Ответ: .

43. Ответ: .

44. Ответ: .

45. Ответ: .

46. Ответ: .

47. Ответ: .

48. Ответ: .

49. Ответ: .

50. Ответ: .

51. Ответ: .

52. Ответ: .

53. Ответ: .

54. Ответ: .

55. Ответ: .

56. Ответ: .

57. Ответ: 2.

58. Ответ: 8.

59. Ответ: .

60. Ответ: .

61. Ответ: 2.

62. Ответ: .

63. Ответ: .

64. Ответ: .

65. Ответ: 1.

66. Ответ: 0.

67. Ответ: .

68. Ответ: .

69. Ответ: 8.

70. Ответ: .

Тема III. Производная функции и ее приложения

Производная, ее геометрический и физический смысл.

Правила и формулы дифференцирования

Напомним, что приращением функции называется разность

где - приращение аргумента x.

Из рисунка видно, что . (1)

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции в точке х и обозначается одним из следующих символов: , , .

Таким образом, по определению

. (2)

Если указанный в формуле предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной - дифференцированием.

Из равенств (1) и (2) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке , к графику функции .

С физической точки зрения производная определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х ( - мгновенная скорость, - средняя скорость изменения функции).

Если с – постоянное число и , - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , ;

7. ; ; ;

8. Если , , т.е. - сложная функция, то

или .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных функций:

1. ,

2. , , где

3. , ,

4. , ,

5. ,

6. ,

7. , ,

8. , ,

9. , ,

10. , ,

11.

12.

13. , ,

14. , ,

15. , ,

16. , ,

17. , ,

18. , ,

Уравнение касательной к кривой в точке :

Уравнение нормали к кривой в точке :

, .

При уравнение нормали имеет вид:

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке, который вычисляется по формуле

Примеры

1. Найти производную функции .

Решение:

Ответ:

2. Найти производную функции .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

3. Найти производную функции .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

4. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

Для составления уравнений касательной и нормали найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент.

Найдем ординату точки касания, подставив в уравнение кривой значение :

; .

Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали:

;

Найдем уравнение касательной:

, , .

Найдем уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

5. Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке .

Решение:

Дифференцируем уравнение эллипса по х, рассматривая у как функцию от х:

, , откуда .

Найдем угловые коэффициенты касательной и нормали в точке :

Уравнение касательной имеет вид:

, , .

Уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

6. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении парабол и .

Решение:

Найдем точки пересечения парабол. Для этого решим систему уравнений:

Параболы пересекаются в точках О (0;0) и А (1;2).

Угол между двумя пересекающимися параболами найдем как угол между касательными к ним, проведенным в точке пересечения. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболам в точках их пересечения. В точке (0;0) касательными к параболам служат оси ОХ и ОУ, следовательно в этой точке параболы пересекаются под прямым углом.

Для вычисления коэффициента касательной к параболе в точке А запишем ее уравнение в виде :