Рассмотрим длинную горизонтальную выработку, пройденную в однородном и изотропном породном массиве на глубине Н от поверхности. Поперечное сечение выработки имеет круговое очертание с радиусом R0. Объемный вес вмещающих пород – γ. К контуру выработки приложена распределенная нагрузка р0, равная отпору крепи.
Полагаем, что уровень напряжений в породном массиве зависит только от величин Н и γ и не превосходит прочности горных пород, т.е. напряжения и деформации являются упругими. Физической моделью такой породной среды является модель Гука.
Будем полагать, что фактическое влияние выработки на породный массив является локальным. Кроме того, С.Г. Михлиным доказано, что в том случае, если глубина заложения выработки Н превышает 10R0, собственный вес горных пород можно не учитывать, а его действие следует заменить, приложив распределенную нагрузку интенсивностью γН к границам исследуемой невесомой области.
Поскольку рассматривается длинная выработка, то задача определения компонентов напряжений в произвольном, достаточно удаленном от краев, сечении сводится к типу рассмотренных выше задач с плоской деформацией. Расчетная схема к решению задачи показана на рис. 4.3.
 |
Рис. 4.3. Расчетная схема к определению напряжений в
окрестности горизонтальной выработки
Предположим, что начальное поле напряжений является гидростатическим, т.е. λ=1. В таком случае рассматриваемая задача является полярно-симметричной, в которой все геометрические параметры и силовые элементы зависят только от радиуса R и не зависят от полярного угла 
.
Условие равновесия имеет вид
(4.9)
где 
и 
- тангенциальный и радиальный компоненты напряжений, 
- безразмерный радиус, играющий роль единственной переменной системы координат. Уравнение (4.9) содержит две неизвестные величины - и , т.е. задача определения напряжений является статически неопределимой. Введем в рассмотрение условие совместности деформаций, которое применительно к рассматриваемой частной задаче будет иметь вид:
(4.10)
Определив из (4.10) и подставив это выражение в (4.9), получим дифференциальное уравнение вида:
которое после разделения переменных примет вид:
. (4.11)
Решение уравнения (4.11) следующее:
(4.12)
где С – неизвестная постоянная интегрирования. Определим ее из граничных условий:
при 
(4.13)
при 
.
Первое граничное условие удовлетворяется автоматически, а из второго получим
. (4.14)
Подставив выражение (4.14) в (4.12) и используя (4.10), получим уравнения для соответствующих напряжений
(4.15)
или
(4.16)
В уравнениях (4.16) величина 
при достаточно большой глубине заложения выработки близка к нулю и ею можно пренебречь, тогда получим следующие выражения
(4.17)
Уравнения (4.15) и (4.17) в точности соответствуют решению Ламе для определения напряжений в толстостенной трубе, нагруженной внешним и внутренним давлением.
Графики распределения напряжений вокруг выработки показаны на рис. 4.4.
Из рисунка следует, что на контуре выработки при р=0 имеет место одноосное напряженное состояние:
(4.18)
Условие прочности для породного массива в этом случае получим из (4.18):
(4.19)
из которого можно найти предельную глубину, при которой выработка будет сохранять устойчивое состояние
. (4.20)
Здесь 
- коэффициент структурного ослабления массива.
Анализ выражений (4.17), показывает что возмущающее влияние выработки на породный массив носит локальный (местный) характер, и на расстоянии (5-6) 
от контура напряжения в массиве незначительно отличаются от начальных.