Метод граничных элементов.




Эффективность и сравнительная легкость учета реальных граничных условий делают МКЭ весьма привлекательным. Самая слабая его сторона состоит в необходимости дискретизации всего тела, что неизбежно ведет к большому количеству КЭ, а значит и числа неизвестных задачи, особенно для тел с удаленными границами. Кроме того, метод иногда приводит к разрывам значений исследуемых величин, поскольку процедура метода налагает условия неразрывности обычно лишь в узлах.

Метод граничных элементов (МГЭ) в определенных случаях оказывается более эффективным, чем метод конечных элементов (МКЭ). В (МГЭ) рассматривают систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. Схема дискретизации требует разбиения лишь поверхности, а не всей области (отсюда название метода), так что область становится одним сложным большим «элементом» (в смысле МКЭ). МГЭ имеет преимущества при рассмотрении областей больших размеров. Этим методом могут быть решены задачи теории упругости, пластичности и т.д. Он особенно эффективен при рассмотрении систем, часть границы которых находится в бесконечности. Благоприятны так же системы, содержащие полубесконечные области с ненагруженными участками контура. В этом случае вообще нет необходимости дискретизировать ненагруженные участки. Очевидно, что дискретизация границы порождает меньшую систему общих уравнений задачи, чем дискретизация всего тела. МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на единицу, т.е. для двумерных задач получаются одномерные граничные элементы, а для трехмерных задач – двумерные граничные элементы на поверхности. Каждая отдельная подобласть в МГЭ должна быть однородной, т.е. обладать одинаковыми физическими свойствами. Для многих задач теории упругости сегодня имеются аналитические решения, отвечающие единичным возмущениям (например, сосредоточенная сила или момент), приложенным во внутренних точках однородной неограниченной области. Это, так называемые, функции влияния, или функции Грина. Примером функции влияния может служить решение Фламана-Буссинека в задаче о действии точенной силы на границе упругой полуплоскости. Пользуясь принципом суперпозиции и функциями влияния, в методе граничных элементов находят такие нагрузки, прикладываемые на воображаемой границе бесконечного тела, которые обеспечивают выполнение граничных условий заданного тела.

В качестве примера иллюстрации идеи МГЭ рассмотрим задачу об одномерном переносе тела. Оговоримся, что МГЭ вовсе не предназначен для решения подобных простых задач. На рис. 1а показан стержень длиной 𝐿 с единичным поперечным сечением. Границами системы является две крайние точки 𝑃 и 𝑄, в каждую из которых можно поместить лишь по одному «граничному элементу». В этих точках поддерживается

В некоторой точке 𝐵, имеющей координату 𝜉 и называемой в дальнейшей точкой приложения нагрузки, находится точечный источник тепла интенсивности 𝜓. Положение наблюдаемой точки 𝑃 внутри тела задается координатой 𝑥. Изменение тепла 𝑝 в этой задаче описывается уравнением Лапласа

 

 

Интенсивность потока тепла 𝜐

где –коэффициент теплопроводности. Этими уравнениями описывается также отклонение и угловой коэффициент невесомой нити, на которую действует сосредоточенная сила 𝜓; –продольное напряжение нити (рис.1б).

Решение уравнений при заданных условиях на концах, следующее:

 

При одинаково определяется любым из соотношений (1), а при переходе через точку 𝐵 меняется скачком. Физический смысл скачка состоит в разделении потока от источника 𝜓 на две части – к каждому из концов 𝑃 и 𝑄. Для систем, показанных на рис.1 уравнения (1), при , определяют «функции влияния» и . Поскольку последний линейны относительно интенсивности источника 𝜓, то мы можем использовать их, вместе с принципом суперпозиции, при наличии множества источников , , действующих в точках , , .

Суммирование соответствующих величин, определенных уравнениями (1) для каждой из пар , будет давать искомое значение и всюду на отрезке 𝑃𝑄. В этом и состоит принцип применения функций влияния и функций Грина всех типов.

Если линейный элемент неограниченно протяжен, как показано на рис.3, то решение уравнений, соответствующее данному случаю, такое:

 

где функция

 

 

Она не определена при , но

Решение (2) удобно представить в форме:

 

традиционной для МГЭ. Ключевой прием метода состоит в помещении реальной системы (рис.4а) в неограниченную область для построения фиктивной системы (рис.4б). Здесь достаточно ввести два «граничных элемента»: один в точке 𝑃, другой в точке 𝑄. В этих точках размещают фиктивные источники. Интенсивности источников и заранее известны; их влияние на каждую точку выражено формулами (2), (4). Для любой точки фиктивной системы

 

 

 

 

Из требования, чтобы граничные условия в точках 𝑃 и 𝑄 фиктивной системы совпадали с условиями реальной задачи, могут быть найдены величины 𝜑(𝑃) и . Тем самым задача будет решена.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: