Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Московской области
Международный университет природы, общества и человека «Дубна»
Кафедра системного анализа и управления
Задание № 4
по курсу
«Компьютерные технологии анализа динамических систем»
на тему:
«Электрические колебания в параллельной цепи»
Выполнил: студент III курса
группы
Преподаватель: доц. Решетников Г.П.
Дубна, 20… г.
Постановка задачи
Исследовать процесс электрических колебаний в замкнутой электрической цепи.
Проанализировать динамику токов и напряжений в системе и проиллюстрировать графиками различные режимы системы.
Построение математической модели
С помощью дифференциальных уравнений построим математическую модель системы.
Рис.1. Электрическая цепь
По условию нам дана электрическая цепь, состоящая из источника переменного тока, четырех резисторов, конденсатора и катушки индуктивности. Известно, что напряжение источника Е меняется по закону:
.
В этом задании этот источник нужно заменить на источник вида: 
где Еш= Е1* RND(-δ;δ) и 0 ≤ δ ≤1.
Решать данное дифференциальное уравнение будем методом Рунге-Кутта
Перечислим законы, действующие в данной прикладной области, т.е. в электротехнике.
По закону Кирхгофа 
- для любого узла; 
- для любой замкнутой цепи; 
- закон Ома, причем известно, что
= 
I ', 
= C 
.
В соответствии со структурой системы (см. рис.1) применим указанные законы к данной
цепи и получаем систему уравнений: 
.После подстановок преобразуем эту систему в систему из 2-х уравнений, разрешённых
относительно 
и :
; подставив ,
получим: 
Остальные характеристики находятся по формулам: 
Даны следующие начальные условия: при t=t0 
, 
= 
и параметры цепи:
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
|
| Ф | Гн | рад | Ом | Ом | Ом | Ом | с | 
| В | А | B | с |
Решение математической модели
Метод решения полученной системы дифференциальных уравнений должен позволять визуально на графиках наблюдать изменения динамики системы при изменении к.-л. параметра. В этом отношении удобно воспользоваться численными методами решения системы ДУ в среде EXEL, позволяющей графически визуализировать результаты расчётов.
Решим полученную систему численным методом решения ДУ Рунге–Кутта 4-го порядка.
Для системы уравнений, разрешённых относительно 1-х производных: 
,
где Т-область расчёта функций, N- число точек
Схема решения:
i = 0,
начальные условия: i = 0
Для данной системы
;
Значения 
и 
рассчитываются по формулам:
;
;
Для начальных условий и параметров, приведенных в таблице, построим графики.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
| Ф | Гн | рад | Ом | Ом | Ом | Ом | с |
| В | А | B | с | с |
| 0,5 | 0,2 | 0,015 |
Рис.2. График функций Ic(t), Ir(t), I (t), IL(t).
Рис.3. График функций U(t)
Рис.4. Фазовый портрет I’(I).
Рис.5. Фазовый портрет U’(U).
Рассмотрим поведение системы при различных значениях емкости конденсатора, при условии, что остальные параметры останутся неизменными.
Пусть C = 10; 20; 2.
Рис.6. График функций U(t)
Рис.7. Фазовый портрет U’(U).
На значение силы тока изменение этого параметра не влияет.
Пусть L = 20; 10; 3.
Рис.8. График функций IL(t)
Рис.9. Фазовый портрет I’(I).
Рис.10. График функций U(t)
Рис.11. Фазовый портрет U’(U).
Пусть 
= 20; 5; 2.
Рис.12. График функций I (t)
Рис.13. График функций Ir(t)
Рис.14. График функций Iс(t)
Рис.15. График функций U(t)
Рис.16. Фазовый портрет U’(U).
Вывод
Изменение параметров C и L практически не влияет на поведение сил токов 
, 
, 
. При уменьшении C увеличивается амплитуда колебаний напряжения U; при уменьшении L увеличивается скорость убывания 
, и увеличиваются значения U. При увеличении сопротивления уменьшается амплитуда колебаний сил токов , 
, и напряжения U. На силу тока изменение этого параметра влияет незначительно.