Дифференциальные уравнения

Комплексные числа

1. Вычислить ()⁴.

2. Найти .

3. Вычислить .

4. Вычислить ()⁵.

5. Найти .

6. Вычислить .

7. Вычислить .

8. Вычислить ()⁵.

9. Вычислить .

10. Вычислить . Ответ записать в тригонометрической и показательной формах.

11. Вычислить .

12. Вычислить .

13. Действительная часть комплексного числа (8-5 i)² равна 3; 13; 89; 39.

14. Комплексное число 2 i можно представить в виде

15. Частное от деления двух комплексно сопряженных чисел где z=- 2+ i равно

16. Если f(z)= 5 z ²- i, тогда значение производной этой функции в точке z ₀=2- i равно…. 2- i 20- i 2-10 i 20-10 i

17. Значение функции f(z)= iz ² в точке z ₀=2-3 i равно…

-12-5 i; 12-5 i; 12+13 i; -12+13 i.

18. Даны два комплексных числа z ₁=4-6 i и z ₂=5-2 i. Тогда действительная часть произведения z ₁и z ₂ равна -12; 20; 32; 8

19. Значение функции f(z)= z ²+ i в точке z ₀=1+ i равно… 2 i; 3 i; 2+3 i; 3+2 i

20. Если f(z)= 5 z ²-7 i, тогда значение производной этой функции в точке z ₀=3-3 i равно… 30-3 i; 30-30 i; 3-30 i; 3-3 i.

21.

y

y

z 2

Даны два комплексных числа z ₁и z ₂

1500

0

x

z 1

600

0

x

 

 

Таким аргументом частного в градусах равен ….

22. Модуль комплексного числа 6+8 i равен … 8; 6; 14; 10.

23. Комплексное число можно представить в виде.. .

24. Если z – комплексное число, Imz=10, argz=arcsin5/6, то модуль числа z равен…

25. Корнями комплексного числа являются

26. Установите соответствие между функцией комплексного переменного и ее значением в точке z ₀=1+2 i

1. f(z)= 4 z +1

2. f(z)= 3 z -3

3. f(z)= 2-4 z

5+8 i; 2-8 i; 6 i; 5-8 i; -2-8 i

27. Если z ₁=2+3 i и z ₂=5- i, тогда z ₁ z ₂ равна 13-13 i; 7-13 i; 7+13 i; 13+13 i.

28. Дано z ₁=3+ i и z ₂=2- i, тогда равно… ;

.

29. Аргумент комплексного числа -2+2 i равен…

Дифференциальные уравнения

1. Решить уравнение .

2. Решить уравнение y" -16 y' =0, если у(0)=1, у'(0)=3.

3. Решить систему уравнений

4. Записать вид общего решения дифференциального уравнения y" -16 y' +25 у =(х ²-4) е ^3хcos4 x.

5. Решить уравнение y' =(4x+x²)(1+y²).

6. Решить уравнение y"+y= 3 cos 2 x- 6 sin 2 x.

7. Записать вид частного решения уравнения y" -5 y' +6 у = хе ^{2 х} -(х ²+4) е ³.

8. Решить уравнение у' + .

9. Решить систему дифференциальных уравнений

10. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" +2 y' +10 у = хе ^{- х} cos 3 х -5 sin 3 x.

11. Решить уравнение y" = хе^х, если у(0)=у'(0)=0.

12. Решить систему дифференциальных уравнений операторным методом

13. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" +4 y' +104 у = хе ^{-2 х} sin 10 x+ 2 cosх.

14. Решить уравнение y"'-х-cosx =0.

15. Решить уравнение у' + .

16. Решить дифференциальное уравнение y" -6 y' +25 у =0, если у(0)=1, у'(0)=0.

17. Записать вид общего решения уравнения y" -8 y' +16 у =(1- х)е ^{4 х} .

18. Решить уравнение y' +2х у = .

19. Решить уравнение y" +9 у' = .

20. Решить систему уравнений

21. Записать вид общего решения дифференциального уравнения y" -2 y' +17 у = е^х(х ² cos 4 х-sin 4 x).

22. Решить уравнение y" = .

23. Решить уравнение .

24. Решить уравнение y" +3 у'- 10 y = .

25. Решить систему дифференциальных уравнений матричным методом

26. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" +9 у = хсos 3 х + sinx.

27. Решить уравнение .

28. Решить уравнение y" +10 у' +25 y =0, если у(0)=4, y'(0)=1.

29. Решить систему дифференциальных уравнений

30. Решить уравнение y'sinx- 3 ycosx= 2 sin ² x.

31. Решить уравнение y" -2 у' -8 y =-8 х ²+4 х +7.

32. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" -4 y' +4 у = е ^{2 х} (х ²-4).

33. Решить уравнение (1+х²)y'=e^-y.

34. Решить систему дифференциальных уравнений .

35. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" +4 y' +104 у = хе ^{2 х} sin 10 х.

36. Решить уравнениеy'cos²x= .

37. Решить уравнение y" -2 у' +10 y =0, если у(0)=1, y'(0)=7.

38. Записать вид решения дифференциального уравнения y" -6 y' +25 у = е ^{3 х} (хcos 4 х- 3 sin 4 x).

39. Решить дифференциальное уравнение y' sinx +4 ycosx= .

40. Решить уравнение y" -2 у' +10 y =4sin3x.

41. Решить систему дифференциальных уравнений .

42. Записать вид частного решения дифференциального уравнения y" -5 y' -6 у = хcos 2 x-xе ^{6 х} .

43. Решить уравнение y" +10 у' +25 y =4 е ^{-5 х} .

44. Дано у' у= . Тогда его решением является функция у=е^3х у=х³+2 у=х³ у= +1

45. Общее решение уравнения y" =2x+1 имеет вид у=х⁴+х³+с₁х²+с₂х+с₃; у=

у= с₂х+с₃; у= с₂х+с₃

46. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются х³y'+8у-х+5=0; ; y² +х=0;

47. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются х³y'+8у-х+5=0.

х у²

48. Общий интеграл дифференциального уравнения

имеет вид

49. Дано дифференциальное уравнение y" -4 y '-5 y =2 e ^{5 x}. Общим видом частного решения данного уравнения является … у(х)_{частное}=с₀+с₁х у(х)_{частное}=с₀cos5x+c₁sin5x;

у (х)_{частное}=с₀e^5x; у(х)_{частное}=с₀xe^5x.

50. Порядок дифференциального уравнения (y") ³-xy"=2y' можно понизить заменой… y'=z(y) y'=z(x) y"=z(x) y"=z(y)

51. Если у(х) – решение уравнения y'=e^x-y, удовлетворяющее условию у(0)=0, тогда у(4) равно…

52. Общее решение дифференциального уравнения y'"=3x-2 имеет вид…у= у= с₂х+с₃ у= с₂ х+с₃; у=х⁴-х³+с₁х²+с₂х+с₃

53. Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения

1) y"+3y'+3y=7+7x

2) y"+3y'=7+7x

3) y"-2=5+7x

у(х)_{частное}=(с₀+с₁х)x у(х)_{частное}=с₀+c₁x у(х)_{частное}=с₀+c₁x² у(х)_{частное}=с₀xу(х)_{частное}=(с₀+с₁х)x².

54. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение

y" -9 y '+20 y =0, тогда его общее решение имеет вид … с₁e^-4x+с₂e^5x; с₁e^-4x+с₂e^-5x; с₁e^4x+с₂e^-5x; с₁e^4x+с₂e^5x.

55. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение y" +5 y '+6 y =0, тогда его общее решение имеет вид … с₁e^2x+с₂e^-3x; с₁e^-2x+с₂e^-3x; с₁e^-2x+с₂e^3x; с₁e^2x+с₂e^3x.

56. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид… ; ln|y|=-cosx+C;

ln|y|=cosx+C.

57. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид… e^x=ln|x|+C; y=ln|x|+C; e^y= +C; e^y=x+C.

Ряды

1. Исследовать на сходимость ряд .

2. Найти область сходимости степенного ряда .

3. Исследовать на сходимость ряд .

4. Исследовать на сходимость ряд .

5. Исследовать на сходимость ряд .

6. Исследовать сходимость числового ряда .

7. Найти область сходимости степенного ряда .

8. Найти область сходимости степенного ряда .

9. Найти область сходимости степенного ряда .

10. Исследовать на сходимость ряд .

11. Исследовать на сходимость ряд .

12. Найти область сходимости степенного ряда .

13. Найти область сходимости степенного ряда .

14. Исследовать на сходимость числовой ряд .

15. Найти область сходимости степенного ряда .

16. Найти область сходимости степенного ряда .

17. Дана функция f(x)=x ⁴-2, x Î[-p;p]. Тогда коэффициент b ₅ разложения f(x) в ряд Фурье равен… 2p/5; 5/p; 0; p.

18. Интервал (0;2) является интервалом сходимости степенного ряда…

19. Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости. 1) Абсолютно сходится; 2) Условно сходится; 3) Расходится.

.

20. Радиус сходимости степенного ряда равен 9, тогда интервал сходимости имеет вид…

(-4,5;4,5); (-9;9); (-9;0); (0;9)

21. Дана функция f(x)= 5 x ², x Î[-p;p]. Тогда коэффициент b ₆разложения f(x) в ряд Фурье равен… 0; p; 6/p; 6p/5.

22. Функция у=f(x), заданная на отрезке [-6;6] является нечетной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид… f(x)= ;

f(x)= ; f(x)= ;

f(x)= .

23. Общий член последовательности

24.

f(x)

Функция у=f(x) при x Î[0;2p]и ее периодическое продолжение заданы на рис.1

-2p

2p

4p

х

 

 

Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…

25. Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости. 1) Абсолютно сходится; 2) условно сходится; 3) расходится.

26. Радиус сходимости степенного ряда равен 8. Тогда интервал сходимости имеет вид…. (-8;0); (-4;4); (-8;8); (0;8).

27. Функция у=f(x), заданная на отрезке [-5;5] является нечетной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид… f(x)=

f(x)= ; f(x)= ;

f(x)=

28.

f(x)

Функция у=f(x) при x Î[0;2p] и ее периодическое продолжение заданы на рис.2

-2p

2p

4p

х

 

 

Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…

.

29. Радиус сходимости степенного ряда равен 12. Тогда интервал сходимости имеет вид…(-6;6); (-12;0); (0;12); (-12;12)

30. Интервал (0;2) является интервалом сходимости степенного ряда