Решение дополнительного задания

6.1 Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к цен­тру масс тележки и вращающий момент , относительно того же центра масс.

6.2 Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент опреде­ляется только силой реакции опоры переднего колеса —

, (6.1)

где — угол поворота переднего колеса.

Зная из рисунка, что

, (6.2)

получим:

. (6.3)

Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки влево, отрицательные — вправо.

6.3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:

. (6.4)

Для нашего случая важно знать направление действия силы , которое зависит от направлений и величин состав­ляющих рассматриваемой суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения габа­ритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:

, (6.5)

где — вектор, задающий координаты центра масс тележки;

— вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ;

— габаритная определяющая транспортной тележки.

6.4 Вектор представляется в базисе вектора сле­дующим образом:

, (6.6)

где — единичный вектор, ортогональный вектору ,

или

. (6.7)

Если имеет координаты , то имеет координаты . Тогда вектор , выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:

, (6.8)

где — матрица (оператор) поворота вектора на угол .

Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что

. (6.9)

6.5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выраже­ния для векторов силы тяги и приведённой силы трения, а именно:

, (6.10)

. (6.11)

6.6 Центростремительная реакция трассы определя­ется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс, возникающей при закруглении тра­ектории движения:

, (6.12)

где — центростремительное ускорение.

Если траектория движения центра масс задаётся векто­ром , то

, (6.13)

где — вектор скорости центра масс;

— вектор полного ускорения;

— оператор скалярного произведения векторов.

Это физический факт. Вывод его опускаем.

6.7 Центр масс тележки смещается под действием ре­зультирующей силы , при этом справедливо:

. (6.14)

6.8 Точка приложения силы тяги смещается под дейст­вием вращающего момента , за счёт которого ей придаётся угловое ускорение :

, (6.15)

где — момент инерции тележки относительно центра масс.

Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное в скалярной форме:

,

а затем и в векторной:

, (6.16)

где — векторная скорость изменения ориентации габа­ритной определяющей.

С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через полное ускорение вектора :

, (6.17)

где — вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяю­щей;

В результате имеем связь:

. (6.18)

6.9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорцио­нальна модулю скорости центра масс:

, (6.19)

где — коэффициент трения,

на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики транспортной те­лежки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является зависи­мость траектории центра масс тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора .

Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота и четырёх начальных условиях типа:

, (6.20)

которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в начале координат, скорость те­лежки равна нулю (и поступательная и вращательная), те­лежка сориентирована вертикально по оси .

Для более детального учёта свойств транспортной те­лежки в динамики выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями сравнений в соот­ветствии с допущениями, сформулированными в задании кон­трольной работы.