Изучение основных и базовых логических элементов
Цель работы
а) ознакомление с универсальным лабораторным стендом и приобретение навыков работы на стенде;
б) исследование функционирования основных логических элементов.
Теоретические сведения
Общие сведения
Основными понятиями булевой алгебры являются понятия логической переменной и логической функции.
Логической переменной называется величина, которая может принимать одно из двух возможных состояний (значений), одно из которых обозначается символом “0”, другое – “1” (для обозначения состояний возможно применение и других символов, например, “Да” и “Нет” и др.). Сами двоичные переменные чаще обозначают символами х 1, х 2,… В силу определения логические переменные можно называть также двоичными переменными.
Логической (булевой) функцией (обычное обозначение – у) называется функция двоичных переменных (аргументов), которая также может принимать одно из двух возможных состояний (значений): “0” или “1”. Значение некоторой логической функции n переменных определяется или задается для каждого набора (сочетания) двоичных переменных. Количество возможных различных наборов, которые могут быть составлены из n аргументов, очевидно, равно 
. При этом, поскольку сама функция на каждом наборе может принимать значение “0” или “1”, то общее число возможных функций от n переменных равно 
.
Таким образом, множество состояний (значений), которые могут принимать как аргументы, так и функции, равно двум. Для этих состояний в булевой алгебре определяются отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства (=) и три операции: а) логического сложения (дизъюнкции), б) логического умножения (конъюнкции), в) логического отрицания (инверсии), обозначаемые соответственно символами:
+ или 
- операция дизъюнкции,
или 
или & - операция конъюнкции,
- операция инверсии (* - символ аргумента или функции).
Постулативно полагается, что при выполнении перечисленных операций отношения эквивалентности имеют вид:
а) 0 + 0 = 0, б) 0 × 0 = 0, в) 
= 1,
0 + 1 = 1, 0 × 1 = 0, 
= 0.
1 + 0 = 1, 1 × 0 = 0,
1 + 1 = 1; 1 × 1 = 1;
На основании постулатов (1) можно вывести следующие соотношения (законы) алгебры логики:
1. Законы одинарных элементов (универсального множества – а), нулевого множества – б), тавтологии – в)):
а) х + 1 = 1, б) х + 0 = х, в) х + х = х,
х × 1 = х; х × 0 = 0; х × х = х.
2. Законы отрицания (двойного отрицания – а), дополнительности – б), двойственности – в)):
а) 
б) 
в) 
; 
.
3. Законы абсорбции или поглощения – а) и склеивания – б):
а) 
б) 
Законы двойственности (3, в), называемые также законами деМоргана, были обобщены К. Шенноном на случай произвольного (n) числа аргументов.
Кроме законов, перечисленных выше и не имеющих аналогов в обычной алгебре (алгебре чисел), для алгебры логики справедливы законы обычной алгебры: коммутативные или переместительные, дистрибутивные или распределительные, ассоциативные или сочетательные.
Любая логическая функция у n двоичных переменных 
может быть задана таблично. Такие таблицы, получившие название таблиц истинности, содержат 
строк, в которые записываются все возможные двоичные наборы значений аргументов, а также соответствующее каждому из этих наборов значение функции.
Пример 1. Составить таблицу истинности логической функции у равнозначности (эквивалентности) трех двоичных переменных 
, т.е. функции, которая принимает единичное значение только при совпадении всех трех аргументов, ее образующих.
Решение. Сначала выпишем все возможные наборы (комбинации) трех переменных . Таких наборов, очевидно, 8. Чтобы не ошибиться при перечислении наборов аргументов, нужно сразу приучиться перечислять их единообразно – в виде возрастающей последовательности чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для рассматриваемого примера наборы трех переменных нужно перечислить в следующем порядке: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – итого восемь двоичных чисел – от 0 до 7.
Далее для каждого набора двоичных переменных определим, исходя из смысла ситуации, соответствующее значение функции. В результате получаем таблицу истинности логической функции "равнозначность трех двоичных переменных" (табл. 1).
Задание логической функции таблицей истинности не всегда удобно. При большом числе двоичных переменных (n ³ 6) табличный способ задания функции становится громоздким и теряет наглядность. Возможен и аналитический способ задания логических функций, который предусматривает запись функции в форме логического выражения, устанавливающего, какие логические операции над аргументами функции должны выполняться и в какой последовательности.
Алгебра логики предполагает возможность образования сложных функций, т.е. функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Например, если 
, а 
и 
, очевидно, что 
. Операция замены аргументов одной функции другими функциями называется суперпозицией функций. Эта операция дает возможность выразить сложную логическую функцию через более простые (элементарные).
Приведем описание некоторых, имеющих большое значение в цифровой технике, элементарных логических функций и ЛЭ, реализующих эти функции.
Функция “отрицание” – это функция одного аргумента (другие названия функции: инверсия, логическая связь НЕ). Аналитическая форма задания этой функции: 
где 
- логическая функция, 
- аргумент.
Электронный ЛЭ, реализующий функцию “Отрицание” в виде определенных уровней электрических сигналов, называют инвертором или ЛЭ “НЕ”. Инвертор на схемах изображается, как показано на рис. 1, а. Вход ЛЭ слева, выход – справа. На выходной линии, в месте соединения ее с прямоугольником, изображается кружок – символ инверсии. На языке цифровой техники инверсия означает, что выходной сигнал (у) противоположен входному (х). Сказанное иллюстрирует рис. 1, б, на котором приведены временные диаграммы инвертора.
Функция “конъюнкция” – это функция двух или большего числа аргументов (другие названия функции: логическое умножение, логическая связь И). Аналитическая форма задания функции двух аргумент 
и 
:
или 
или 
.
Функция “конъюнкция” равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1. ЛЭ, реализующий функцию “Конъюнкция” называют конъюнктором или ЛЭ “И”. На рис. 2 приведены: условное графическое изображение двухвходового (а) и трехвходового (б) конъюнкторов; временные диаграммы (в) и таблица истинности (г) двухвходового конъюнктора.
ЛЭ “И” часто используют для управления потоком информации. При этом на один из его входов поступают сигналы, несущие некоторую информацию, а на другой – управляющий сигнал: пропустить информацию – 1, не пропустить – 0. ЛЭ “И”, используемый таким образом, называют вентиль.
Функция “дизъюнкция” – это функция двух или большего числа аргументов (другие названия функции: логическое сложение, логическая связь ИЛИ). Функция равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1 (рис. 2, в). Обозначение функции “Дизъюнкция”:
или 
.
ЛЭ, реализующий функцию “дизъюнкция”, называют дизъюнктором или ЛЭ “ИЛИ”. Условное изображение и временные диаграммы ЛЭ “ИЛИ” приведены на рис. 3.
Функция “штрих Шеффера” (другое название функции – логическая связь “И-НЕ”) – это функция двух или большего числа аргументов. Таблица истинности функции “И-НЕ” представлена на рис. 4, б. Легко видеть, что это инверсия функции “И”, т.е. отрицание конъюнкции. Функция равна 1, если равен 0 хотя бы один из ее аргументов, функция равна 0 при равенстве всех аргументов 1.
Обозначение функции “И-НЕ”: 
.
Условное изображение ЛЭ, реализующего функцию “штрих Шеффера”, приведено на рис. 4, а.
Используя только ЛЭ “И-НЕ”, можно реализовать любую из вышерассмотренных логических функций (НЕ, И, ИЛИ), как показано на рис. 5, а-в.
 |
Функция “стрелка Пирса” – это функция двух или большего числа аргументов (другое название функции – логическая связь “ИЛИ-НЕ”). Данная функция является инверсией функции “ИЛИ”, значения функции представлены на рис. 6, б, в формулах обозначается как 
. Условное изображение ЛЭ, реализующего функцию “ИЛИ-НЕ” приведено на рис. 6, а. ЛЭ “ИЛИ-НЕ” также, как и ЛЭ “И-НЕ” позволяет реализовывать логические функции НЕ, ИЛИ, И. Отмеченное иллюстрирует рис. 7.
Функция “сумма по модулю 2”(М2) – это функция двух или большего числа аргументов. Обозначение в формулах: 
(в случае функции двух аргументов и ). Таблица истинности функции представлена на рис. 8, а. На рис. 8, б приведено условное графическое изображение двухвходового ЛЭ, реализующего эту функцию. Название функции связано с тем, что 
есть арифметическая сумма двоичных чисел и в пределах одного разряда: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10. В последнем случае возникает единица переноса в соседний старший разряд, а в разряде самих слагаемых получается ноль. Отсюда широкое применение этого ЛЭ при построении суммирующих устройств.
Функция М2 обладает интересным свойством, которое полезно запомнить: при инвертировании одного из аргументов вся функция инвертируется, т.е. 
.
Инверсия суммы по модулю 2 для двух аргументов имеет и собственный смысл: это функция равнозначности 
; она равна единице, если 
. Следовательно, для построения схем сравнения одноразрядных чисел достаточно проинвертировать один из аргументов или результат.
Полезно запомнить также следующие очевидные соотношения:
Первые два равенства позволяют применять ЛЭ М2 в качестве управляемого инвертора. Если использовать один из входов М2 как управляющий и подавать на него уровень логического 0 или 1, то информация, поступающая по второму входу, будет пропускаться на выход без изменения или инвертироваться.
В случае двух аргументов функцию М2 называют также функция неравнозначности, исключающее ИЛИ, поскольку полностью совпадают таблицы истинности этих функций. Если же функция М2 трех или большего числа аргументов, то применение названий “неравнозначность”, “исключающее ИЛИ” не правомерно. Последнее следует из сопоставления таблиц истинности этих функций (табл. 2), из которой следует, что это совершенно различные функции.
Таблица 2
| Аргументы | Функции | ||
| М2= 
| Неравнозначность | Исключающее ИЛИ (один и только один) |
| 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
Стандартные ИС ЛЭ И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ имеют 2, 3, 4 или 8 входов. Число аргументов, входящих в конъюнкцию (дизъюнкцию) или ее инверсию может отличаться от числа входов ЛЭ. Типовыми ситуациями являются наличие у имеющегося ЛЭ “лишних” (неиспользуемых) в данном случае входов или, напротив, нехватка у имеющегося ЛЭ необходимого числа входов. Например, нужно получить конъюнкцию (дизъюнкцию) или ее инверсию пяти переменных. В сериях ИС нет ЛЭ с пятью входами и придется взять элемент с восмью входами, у которого окажется три “лишних” входа (рис. 9, а). Принципиально возможно поступить следующим образом: “лишние” входы подсоединить к задействованным (рис. 9, б) или подать на них некоторые константы (логические “1” или “0”), не изменяющие логику работы ЛЭ (рис. 9, в).
В других случаях число входов ЛЭ меньше числа аргументов конъюнкции (дизъюнкции) или ее инверсии. Для ЛЭ И и ИЛИ решение задачи не представляет трудностей – для получения нужного числа входов берется несколько ЛЭ, выходы которых объединяются далее элементом того же типа.
Описание лабораторного устройства
На лицевой панели лабораторного макета показаны базовые логические элементы и индикаторы состояния (светодиоды). Имеются гнезда с высокими и низкими уровнями напряжения, имитирующие сигналы логической единицы и логического нуля. Коммутация схемы производится при помощи набора соединительных проводов.
Программа работы
Исследование логики работы. Подавая на входы элемента различные комбинации уровней, измерьте с помощью вольтметра выходные напряжения одного из элементов. Произведите коммутацию нескольких логических элементов, проверив достоверность с помощью светодиодов.
Содержание работы
Отчет должен содержать:
5.1 Схему.
5.2 Аналитические выражения реализуемых функций.
5.3 Таблицу истинности (функционирования).
6) Контрольные вопросы
1. Из каких условных символов состоят обозначения логических элементов?
2. Чему равна логическая сумма двух единиц? Объясните полученный результат, используя основные понятия булевой алгебры.
3. Запишите таблицу истинности для логического элемента ИЛИ-НЕ. Объясните, как она формируется.
4. Запишите таблицу истинности для логического элемента И-НЕ. Дайте словесное описание логики работы этого элемента.
5. Как формируется условное обозначение микросхемы?
6. Расшифруйте условное обозначение
а) К555ЛЛ1, б) К555ЛП5, в) К561ЛЕ5.
Список литературы
1. Шило В.Л. Популярные цифровые микросхемы.- Челябинск.: Металлургия, 1989.
2. Алексенко А.Г., Шагурин И.И. Микросхемотехника. -М.: Радио и связь, 1990.
3. Скаржепа В.А., Луценко А.Н. Электроника и микросхемотехника.- Киев.: Выща школа, 1989.
4. Применение интегральных микросхем в электронной вычислительной технике / Под ред. Б.В. Тарабрина.- М.: Радио и связь, 1987.
5.Зельдин Е.А. Цифровые интегральные микросхемы в информационно-измерительной аппаратуре.- Л.: Энергоатомиздат, 1986.
6. Голдсуорт Б. Проектирование цифровых логических устройств. - М.: Машиностроение, 1985.