Многочлены, определение. Корень многочлена. Условие равенства многочленов. Степень многочлена, свойства. Операции над многочленами. Отношение делимости, свойства. Множество (общих) делителей, их свойства. Наибольший общий делитель двух многочленов, единственность и существование. Линейное представление наибольшего общего делителя.
Взаимно простые многочлены, их свойства.
Теорема Безу, кратность корня; простой корень. Производная многочлена, свойства (без док-ва). Теорема о кратности корня многочлена и его производной.
Основная теорема алгебры комплексных чисел (без док-ва). Разложение на линейные множители. Каноническое разложение. Число корней многочлена. Формулы Виета.
Каноническое разложение наибольшего общего делителя. Критерий простоты корней.
Разложение над R на неприводимые множители. Каноническое разложение. Существование вещественного корня многочлена нечетной степени с вещественными коэффициентами. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами. Неприводимые многочлены.
Определение линейного пространства; примеры линейных пространств, простейшие свойства линейных пространств. Система векторов; подсистема. Линейная комбинация векторов. Векторная интерпретация систем линейных уравнений (пример 2). Линейно зависимая и линейно независимая система. Критерий обращения определителя в ноль. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (система, состоящая из одного вектора; критерий для системы, содержащей более одного вектора; случай системы из двух векторов; система, содержащая линейно зависимую подсистему; подсистема линейно независимой системы; добавление вектора к линейно независимой системе; второй критерий линейной зависимости и др.). Полная система, ее свойства.
Размерность линейного пространства. Определение конечномерного и бесконечномерного линейного пространства; размерность пространства Fn. Базис; теорема существования базиса, следствие. Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Теоремы о соотношении базиса и полной (и линейно независимой) системы. Координаты вектора, свойства. Матрица перехода. Преобразование координатных векторов при замене базиса. Свойства матрицы перехода. Алгоритм вычисления матрицы перехода.
Подпространство, критерии и примеры. Линейная оболочка и ее свойства. Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Прямая сумма; теорема о разложении пространства в прямую сумму. Свойства размерности подпространств (соотношение размерностей подпространства и пространства; размерность суммы подпространств; критерий разложения конечномерного пространства в прямую сумму подпространств, о тривиальности пересечения).
Максимальная линейно независимая подсистема. Максимальная линейно независимая подсистема как базис линейной оболочки; следствие об инвариантности числа элементов максимальной линейно независимой подсистемы. Ранг системы векторов; ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы при ее транспонировании. Минор матрицы; теорема о связи ранга матрицы с ее минорами. Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях ее столбцов и строк. Ступенчатая форма матрицы; теорема о ранге матрицы ступенчатой формы, следствие. Теорема о ранге произведения матриц; следствие об умножении на обратимую матрицу. Критерий совместности системы линейных уравнений, следствие. Простейшие свойства ранга. Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений и ее подпространство решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Скалярное произведение; определение евклидова пространства. Теорема существование скалярного произведения в произвольном конечномерном линейном вещественном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. Норма в евклидовом пространстве; свойства нормы. Расстояние в евклидовом пространстве; свойства расстояния. Угол между векторами. Примеры. Ортогональность векторов; свойства отношения ортогональности. Ортогональная система векторов и ее линейная независимость. Нормированный вектор; нормирование вектора. Ортонормированная система векторов. Свойства ортонормированных базисов. Процесс ортогонализации, теорема о равенстве линейных оболочек. Теорема существования ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы, свойства. Критерий ортогональности матрицы. Теоремы об ортогональности матрицы перехода. Ортогональность вектора множеству; ортогональное дополнение. Свойства ортогонального дополнения. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Расстояние от элемента до конечномерного подпространства. Алгоритм нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей, матрица Грама. Унитарные пространства, унитарные матрицы.