Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.





ТЕОРИЯ

· Ответ на Вопрос 1

аксиоматическое) определение действ чисел.

Непустое множество ={x} элементов x произвольнойприроды называется множествомдействительных чисел, если выполняются следующие условия:

IНа множестве введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченнойпаре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+yй называемый суммой элементов x и y так, что выполняются следующие (аксиомы сложения) условия:

(1)I В существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при сложении) такой, что для любого x выполнено:

x+ = +x=x

(2)I Для каждого x существует единственный элемент из , называемый противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что

x+(-x)=(-x)+x=

(3)I Для любых x, y, z

x+(y+z)=(x+y)+z(ассоциативность)

(4)I Для любых x, y из

x+y=y+x(коммутативность)

 

II На множестве введена операция умножения элементов, т.е. указан закон, согласовано которому каждойупорядоченнойпаре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из называемый произведениемx наy и обозначаемый xy так, что выполнены следующие условия (аксиомы умножения):

(1)IIВ существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 такой, что для любого x :

x·1=1·x=x

(2)II Для любого x { } существует единственный элемент из , называемый обратным к x и обозначаемый x-1 такой, что:

x· x-1=x-1·x=1

(3)II Для любыхx, y, z из :

x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)

(4)II Для любыхx, y, z из :

x·y=y·x(коммутативность)

 

 

так же для любых х и у выполняется либо х> у,либо у>х.

 

так же как и у любого множества выполняется аксиома полноты.( если х из Х и у из У,причем х у то существует С из мн-ва рац чисел что х С у)

 

 

· Ответ на вопрос 2 Теор о сущ-нии верх/ нижней грани множества.

 

Теорема 1. (О существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества)

Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.

Доказательство.

Пусть X , X и существует В такое, что для любого x : x В.

Рассмотрим множество E всех чисел, ограничивающих множество X сверху.

E , так как В E. Следовательно, мы имеем два множества X и E, обладающих свойством:

X , E и для каждого x и для каждого В E x В.

А тогда согласно аксиоме V (полноты и непрерывности) множества действительных чисел существует Во такое, что для любого x и для любого В E

x Во В.

Из левой части неравенства x Во следует, что для любого x : x Во Во ограничивает множество X сверху Во E.

Из правой части неравенства следует, что для любого В E: Во В, а так как Во E, то Во – наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху

Во=supX.

Теорема 2. (О существовании точной нижней грани у ограниченного снизу числового множества).

Любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство.

Пусть , и – ограниченно снизу, то есть существует А такое, что для любого x : А x.

Рассмотрим множество X={-x; x }. Тогда для любого -x : -x -А, то есть множество X ограничено сверху и согласно теореме 1 существует Во=supX для любого x : x Во -x о о=inf

 

· Ответ на вопрос 3

Определение.

Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn.

 

Беск малые -

0= xn для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn│< xn (- , ).

Определение.

Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

· Ответ на вопрос 4

Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N:

│xn-a│ или - <xn-а< а- <xn< xn (а- , а+ )

 

Определение.

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а= xn существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│ .

Теорема 2.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Определение.

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

 

Доказательство.

.Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.

{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит и для =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:

│xn-а│< =1 а-1<xn<а+1 xn (а-1, а+1)

положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}

B=max{ x1, x2,…, xN, a+1}

Тогда для любого n, n=1, 2, …: А В.

 

· Ответ на долбанный Вопрос 5

Теорема о единственности предела.

Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. (от противного)

Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а<b , такие что

а= xn, b= xn, b>a.

так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.

 

Возьмём = (b-а)>0.

а= xn для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N1 такой, что для любого n>N1: │xn-а│< (b-а).

b= xn для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │xn-b│< (b-а).

Тогда для любого n>N=max{N1, N2} выполняются оба неравенства:

b- xn<a+ b- a+ b-a<2 = (b-а), что невозможно.

Мы пришли к противоречию.

 

· Ответ на вопрос 6

Теорема о ограниченности сх-ся посл-ти.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Доказательство.

I.Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.

{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит идля =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:

│xn-а│< =1 а-1<xn<а+1 xn (а-1, а+1)

 

Положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}

B=max{ x1, x2,…, xN, a+1}

Тогда для любого n, n=1, 2, …: А В.

 

· Ответ на вопрос 7

Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 3.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности.

xn=а, yn=b.

Тогда {xn+yn } сходится и её предел равен а+b.

Доказательство.

xn для любого n: xn=а+ n, где { n} - б.м.

yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.

Тогда {xn+yn } сходится, т.к. n, n=1, 2, …: xn+yn=(а+ n)+(b+ n)=а+b+( n+ n),

{ n+ n } – б.м., как сумма двух бесконечно малых последовательностей { n} и{ n}.

Согласно лемме 2 §2 (xn+yn)=а+b

 

Теорема 4.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b.

Тогда {xnyn} сходится и её предел равен а∙b.

Доказательство.

xn для каждого n:xn=а+ n, где { n} – б.м.

yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.

Тогда для любого n:

xnyn=(а+ n)∙(b+ n)=аb+а n+b n+ n n

Последовательности { n} и { n} бесконечно малые по лемме 1 §2, { n n} – б.м., как произведение ограниченной на бесконечно малую по теореме 1§2 xnyn=а∙b.

 

 

Теорема 5.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b, b 0.

Тогда { } сходится и её предел равен .

Доказательство.

I.Пусть yn=b, b .

Тогда последовательность { }: 1) имеет смысл

2) сходится

3) её предел равен

1) { } имеет смысл, то есть существует номер nо такой, что для любого n о: yn , то есть { } определена.

В самом деле, т.к. yn=b для каждого 0, а значит и для >0, существует номер N такой, что для любого номера n>N

│yn-b│< b- <yn<b+

Пусть b>0. │b│=b.

Тогда 0<b- ∙b= <yn< ∙b (*)

Пусть b<0. │b│= - b.

Тогда ∙b<yn< ∙b<0 (**).

Тогда для любого n N+1: yn и { } опеределена.

2) Покажем, что { } ограничена.

Для любого n>N: либо 0< <yn │< ,

либо yn< <0 │< { } ограничена.

3) Докажем, что { } сходится и её предел равен .

Так как yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.

Пусть n о: = = (b - yn) = n.

{ n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- yn }={- n }– б.м.

А тогда = + - = + n , { n } б.м. и согласно теореме 1§2, = .

 

II. Докажем теперь, что{xn }= { } сходится.

xn=а, = .

Тогда по теореме 3 { } сходится и её предел равен .

 

 

Теорема 6.

Пусть {xn} сходится и xn=а.

Тогда {│xn│} сходится и │xn│=│а│.

Доказательство.

xn для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn- а│< .

Возьмём произвольное >0, фиксируем его. Тогда

n>N: ││xn│ - │а││ │xn - а│< │xn│=│а│.

 

· Ответ на вопрос 8

Определение.

Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида

{xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1<n2<…<nk<… образуют строго возрастающую последовательность, при этом nk k, k=1, 2, …

 

Любая подпоследовательностьсходящейся последовательностисходится и имеет тот же предел.

Доказательство.

Пусть {xn} сходится а 0 N n>N: │xn-а│< и пусть { xn} - произвольная подпоследовательность последовательности {xn}.

Докажем, что xn=а.

Так как {nk} строго возрастает и : nk k, то по теореме §5 {nk} стремится к + 0, а значит и для E=N>0 номер K такой, что k>K: nk>N >0 >K: │xn-а│< а= xnk.

Число называется частичным пределом{xn}, если {xnk} – её подпоследовательность такая, что xnk=

Определение.

Нижним пределом{xn} называется =infМ.

Верхним пределом{xn} называется =supМ.

1. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Тогда по определению =infМ, а =+ .

2. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.

Тогда по определению =supМ, а = .

 

· Ответ на долбаный вопрос 9

Предельный переход в неравенствах.

 

Теорема 1. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ b, то

 

Следствие. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ yn, то .

 

Важное замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все xn > b, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

 

Теорема 2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства

 

1. ;

 

2 . ,

 

то существует .

· Ответ на вопрос 10

Монотонные последовательности.

Теорема.

Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство.

1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1 x2 xn … и В n: xn В.

Так как множество {xn} всех элементов последовательности ограниченно сверху, то sup{xn}=а.

Докажем, что xn=а.

sup{xn}=a 1) n: xn а

2) 0 N: xn>а- , а в силу возрастания {xn} n>N: а- <xN xn а<а+ а- <xn<а+ │xn-а│< xn=а.

2) 1)

 

2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу.

Тогда {-xn} возрастает и ограничена сверху. В самом деле x1 x2 xn - x1 - x2 - xn

{xn}ограничена снизу А n: А xn - xn {-xn} ограничена сверху и возрастает. Тогда по доказанному в п.1 (-xn)=-а=sup{-xn}. А тогда а= xn=inf {xn}.

· Ответ на вопрос 11

Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема.

Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию Коши:

0 N=N( ) n>N m>N: │xnm│< или

0 N=N( ) n>N и p – натурального: │xn+p - хn│< .

Доказательство.

1.Необходимость.

{xn} сходится а 0 N n>N: │xn- а│< .

Возьмём произвольное 0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.

{xn} сходится а 0, а значит и для нашего фиксированного >0, N n>N: │xn- а│< .

Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │xn- хm│=│xn-а+а - хm │xn- а│+│xm- а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.

2.Достаточность.

Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, : │xn- хm│< .

Докажем, что {xn} сходится.

{xn} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N( ) n>N и m>N: │xn- хm│< .

Пусть m=N+1>N: │xn- хN+1│<1 n>N: xN+1 -1<xn<xN+1+1 n>N+1: xn (xN+1 -1, xN+1+1).

Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.

Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1-1}

B=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}

Тогда n, n=1, 2, …: xn [А, В] {xn} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk}.

{xnk} сходится а: а= xnk.

Докажем, что а= xn.

По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │xn- хm│< .

Положим m=nk k>N. Тогда xnk - <xn<xnk+ .

Устремим k + . Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- xn а+ │xn- а│ < │xn- а│< а= xn.

 

Определение.

Последовательность {xn}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

· Ответ на вопрос 12

. Число .

Рассмотрим последовательность {(1+ )n}.

Обозначим элемент этой последовательности yn=(1+ )n.

Докажем, что {yn}сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

yn= (1+ )n=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )

yn+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )…(1- )

1. {yn} строго возрастает.

n, n=1, 2, …: yn<yn+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. {yn} ограничено сверху.

Для доказательства заменим каждый множитель (1- )единицей, ибо k n (k-1<n).

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2k-1, k=1, 2, …, получим

yn<1+1+



Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2019 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!